Es ist bekannt, dass das Sortieren von Permutationen durch Transposition in , da die minimale Anzahl von Transpositionen, die zum Sortieren von erforderlich sind, genau . Dieser Begriff der "Inversionszahl" hat auch Anwendungen in der algebraischen Kombinatorik, zum Beispiel erlaubt er, mit einer Gitterstruktur zu versehen, die Permutoheder genannt wird und auf der schwachen Bruhat-Ordnung basiert. π ∈ S n i n v ( π ) = { ( i , j ) ∈ [ n ] × [ n ] : i < j und π ( i ) > π ( j ) } S n
Es kann aufschlussreich sein, das Problem gruppentheoretisch neu zu fassen. Wir erhalten eine Gruppe mit dem Generatorsatz und einem Mapping , und eine andere Gruppe auf die transitiv einwirkt, und wir wollen das folgende Problem lösen: gegeben , find eine minimale Länge so dass . Im Permutationsfall ist und die Menge der Transpositionen.Γ i G : Γ * → G H G h ∈ H w ∈ Γ * i G ( w ) . h = 1 H G = H = S n Γ
Frage: Gibt es andere Fälle dieses Problems, die effiziente Algorithmen zulassen?