Welche Eigenschaften von planaren Graphen verallgemeinern sich auf höhere Dimensionen / Hypergraphen?

Ein planarer Graph ist ein Graph, der in die Ebene eingebettet werden kann, ohne dass sich die Kanten kreuzen.

Sei ein einheitlicher Hypergraph, dh ein Hypergraph, so dass alle seine Hyperkanten die Größe k haben.$G=(X,E)$$k$

Es wurden einige Arbeiten zum Einbetten von Hypergraphen in die Ebene durchgeführt (im Kontext von Clustering oder einer anderen Anwendung), aber häufig können die Daten einfach nicht in die Ebene eingebettet werden. Die Lösung könnte entweder darin bestehen, es mit einigem Verlust zu erzwingen oder es in eine höhere Dimension einzubetten, wie ich hier vorschlage:

Eine natürliche Erweiterung der Planarität (zumindest IMO) ist eine " einfache Einbettung" (gibt es einen anderen bekannten Namen dafür?) Von : eine Einbettung , so dass es Flächen gibt, die alle Eckpunkte jedes Hyperedge verbinden, und diese schneiden sich nur mit den Endpunkten.$k$$G$$\mathcal{M}:X\to \mathbb{R}^k$

(Denken Sie an das Analogon in 2D, bei dem jede Oberfläche eine Kante ist, die Sie nach Belieben zeichnen können.)

Hier ist ein Beispiel für eine gültige 3-einfache Einbettung eines 3-einheitlichen Hypergraphen. (Jeder Scheitelpunkt wird durch die Hyperkanten gefärbt, in denen er enthalten ist, und jede Fläche repräsentiert eine Hyperkante.)

Ein weiteres Beispiel für einen 3-einfachen Graphen ist der vollständige 3-Uniform-Hypergraph auf 5 Eckpunkten . Um dies zu sehen, nehmen Sie einfach 4 Punkte in , die nicht auf einer 2D-Ebene liegen, erstellen Sie eine dreieckige Pyramide (ihre konvexe Hülle) und platzieren Sie den fünften Punkt in der Mitte der Pyramide und verbinden Sie sie mit die anderen Eckpunkte.$G=(V,V\times V\times V)$$\mathbb{R}^3$

In ähnlicher Weise scheint es, dass der vollständige 3-Uniform-Hypergraph auf 6 Eckpunkten keine 3-Einfach-Einbettung aufweist.

Es gibt einige sehr nützliche Eigenschaften von planaren Graphen, die verbesserte Algorithmen für schwierige Probleme ermöglichen, wenn der Graph planar ist. Leider sind die Daten oft nicht planar, obwohl sie manchmal von geringer Dimensionalität sind. Ich denke, dass das Verständnis, welche Eigenschaften planarer Graphen verallgemeinern, uns helfen wird, herauszufinden, welche Algorithmen mit demselben Werkzeug für höhere Dimensionen angepasst werden können.

Ein Beispiel für eine Eigenschaft, die nützlich sein könnte, stammt aus dem Satz von Fáry, der besagt, dass jeder planare Graph so eingebettet werden kann, dass alle seine Kanten gerade Liniensegmente sind.

Gilt Fárys Theorem in einer höheren Dimension? Wenn ein Graph eine einfache Einbettung hat, hat er dann eine Einbettung, in der alle Hyperkanten Hyperebenen sind?$k$

Gibt es andere Eigenschaften, die verallgemeinert werden können? Kann beispielsweise die Euler-Formel für planare Graphen irgendwie auf eine höhere Dimension verallgemeinert werden? (obwohl ich im Moment nicht sicher bin, was das bedeuten würde).

Als erste Bemerkung scheint Ihr Fokus auf Hypergraphen zu liegen, aber ich denke, dass der größte Teil der Literatur zum Einbetten von Hypergraphen es bevorzugt, mit einfachen Komplexen zu arbeiten. Eine gute Referenz zu diesen Fragen ist dieses Papier von Matousek, Tancer und Wagner.

Gilt Fárys Theorem in einer höheren Dimension?

Die Antwort ist nein.

Es gibt tatsächlich 3 verschiedene Begriffe der Einbettbarkeit: mit geraden, stückweise linearen und kontinuierlichen (Hyper-) Kanten. Im Flugzeug fallen sie alle zusammen, aber im Allgemeinen nicht. Ein erstes Gegenbeispiel für geradlinige Einbettungen ist Brehm

Brehm, U. (1983). Ein nichtpolyedrischer triangulierter Möbius-Streifen. Proc. Amer. Mathematik. Soc., 89 (3), 519–522. doi: 10.2307 / 2045508

und mehrere Beispiele sind unter Verwendung von Ergebnissen aus der Matroidentheorie gefolgt.

Über den Unterschied zwischen PL und topologischen Einbettungen ergibt sich dies aus den allgemeinen Gegenbeispielen der Hauptvermutung : In den Dimensionen 5 und mehr existieren topologische Sphären, die keine stückweise lineare Struktur zulassen

Gibt es andere Eigenschaften, die verallgemeinert werden können? Kann beispielsweise die Euler-Formel für planare Graphen irgendwie auf eine höhere Dimension verallgemeinert werden?

Vielleicht möchten Sie einen Blick auf das Euler-Merkmal werfen (springen Sie zur topologischen Definition), das die alternierende Summe der Anzahl der dimensionalen Vereinfachungen mit der alternierenden Summe der Betti-Zahlen Ihres Komplexes in Beziehung setzt.$k$

In ähnlicher Weise scheint es, dass der vollständige 3-Hypergraph auf 6 Eckpunkten keine 3-einfache Einbettung aufweist.

Dies resultiert in der Tat aus der Behinderung von van Kampen-Flores. Dies wird in Matouseks Buch Using the Borsuk Ulam Theorem in bemerkenswerter Detailgenauigkeit und Klarheit erklärt.

Oh oh. Sie wollen sehr, sehr vorsichtig sein. Kontaktgraphen von konvexen Polytopen in 3d können jeden Graphen realisieren. Überraschenderweise kann die Clique durch n Polytope realisiert werden, die n gedrehte und übersetzte Kopien desselben Polytops sind (der Geist verwirrt). Siehe dieses Papier:

http://www.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/crum.html

Dies impliziert bereits, dass Sie ziemlich böse Graphen als Schnittgraphen von Dreiecken in 3D codieren können. Siehe Abschnitt 4 dieses Dokuments:

http://sarielhp.org/p/09/set_cover_hard/

Übrigens, ich interessiere mich für eine ähnliche Version Ihres Problems, indem ich versuche zu verstehen, wie sich geometrische Schnittgraphen verhalten ...

Das Schnyder-Theorem besagt, dass ein Graph planar ist, wenn sein Inzidenzposet höchstens 3 hat. Dies wurde von Mendez auf beliebige einfache Komplexe erweitert (siehe "Geometrische Realisierung von Simplizialkomplexen", Graph Drawing 1999: 323-332). Seltsamerweise gibt es ein viel älteres Papier mit einem sehr ähnlichen Titel "Die geometrische Realisierung eines semi-simplizialen Komplexes", aber ich vermute, dass es sich um ein anderes Thema handelt.

Sehr wichtige Eigenschaft: Baumbreite Dualität.

Beispiel: Baumbreite von Hypergraphen und Oberflächendualität von Frederic Mazoit,

Die Zusammenfassung lautet wie folgt:

In Graph Minors III schreiben Robertson und Seymour: "Es scheint, dass die Baumbreite eines planaren Graphen und die Baumbreite seines geometrischen Duals ungefähr gleich sind. Wir haben uns davon überzeugt, dass sie sich höchstens um eins unterscheiden." Sie haben nie einen Beweis dafür gegeben. In diesem Artikel beweisen wir eine Verallgemeinerung dieser Aussage auf die Einbettung von Hypergraphen auf allgemeine Oberflächen und beweisen, dass unsere Bindung eng ist.

http://www.labri.fr/perso/mazoit/uploads/Surface_duality_journal.pdf