Problem mit verbundenem Subgraph mit maximalem Gewicht in planaren Graphen

Das Problem mit dem verbundenen Subgraphen mit maximalem Gewicht ist wie folgt:

Input: ein Graph und ein Gewicht (möglicherweise negativ) für jeden Scheitelpunkt .w i i ∈ $G=(V,E)$$w_i$$i \in V$

Ausgabe: Eine Teilmenge mit maximaler Gewichtung von Eckpunkten, so dass verbunden ist.G [ S $S$$G[S]$

Dieses Problem ist NP-schwer. David S. Johnson erwähnt auf S. 149 dieser Spalte, dass das Problem in planaren Graphen von maximalem Grad drei mit allen Gewichten entweder oder schwer bleibt .- $+1$$-1$

Ich kann das zitierte Papier nicht finden - A. Vergis, Manuskript (1983)

Irgendwelche Ideen, wo man das Papier findet? Oder wie hoch war die Ermäßigung?

In der "The NP-Completeness Column: An Ongoing Guide" Nummer 14 schreibt Johnson "... Vergis [49]. Transformation von STEINER TREE IN GRAPHS [ND12] ..." . Ich habe keinen Zugang zum Vergis-Papier, jedoch kann eine mögliche Reduzierung die folgende sein.

Steiner Tree (ST) im Grafikproblem

Instanz : ein ungerichteter Graph , eine Teilmenge der Eckpunkte R ⊆ V , die als Endknoten bezeichnet werden ; eine nicht negative ganze Zahl $G = (V,E)$$R \subseteq V$$k$

Frage : Gibt es einen Teilbaum von , der alle Eckpunkte von R enthält (ein Spannbaum für R ) und der höchstens k Kanten enthält?$G$$R$$R$$k$

Das Problem bleibt auch für planare Graphen NPC (M. Garey und D. Johnson. Das geradlinige Steiner-Baum-Problem ist NP-vollständig).

Angenommen, Sie können Knoten bei einer gegebenen Instanz von planarem ST beliebige Gewichte zuweisen. Wenn und | E | = Q , können Sie Gewicht zuweisen q + 1 auf die Knoten von R und man kann einen In mittleren Knoten an jede Kante von E und assign Gewicht - 1 zu. Weisen Sie den verbleibenden Knoten in V ∖ R das Gewicht 0 zu . Der ursprüngliche Graph G hat einen Spannbaum für R mit höchstens $|R|=p$$|E|=q$$q+1$$R$$E$$-1$$0$$V \setminus R$$G$$R$$k$Kanten genau dann, wenn Sie im transformierten Diagramm einen Teilgraphen mit einem Zielgewicht finden, der größer oder gleich .$W = p(q+1) - k$

Informell müssen Sie alle Knoten von R in den Untergraphen aufnehmen, um die Größe zu erreichen , und Sie müssen höchstens k mittlere Knoten (entsprechend den Kanten von G ) mit einem negativen Gewicht von -1 aufnehmen, um sie in Verbindung zu halten .$p(q+1)$$R$$k$$G$

u i D $D = \max\{deg(u_i) \mid u_i \in V\}$$u_i$$D$$p$

Und wenn Sie nur Gewichte möchten, müssen Sie: (A) allen Knoten der Kreisketten, die Knoten in entsprechen , zuweisen , (B) jeden mittleren Knoten in einen linearen Knoten transformieren Kette von Knoten mit dem Gewicht und der Länge und (C) erweitern die kreisförmigen Ketten (mit dem Gewicht +1), die den Knoten von , weiter auf mindestens die Länge ; und setze das Zielgewicht . Informell machen die erweiterten Ketten und das neue Ziel die+ 1 V ∖ R - 1 l E = | V ∖ R | + 1 R l R = l E ( | E | + 1 ) W = p l R - k l E + 1 V ∖ $+1,-1$
$+1$$V\setminus R$
$-1$$l_E = |V\setminus R|+1$
$R$$l_R = l_E( |E| + 1)$$W =pl_R - kl_E$
$+1$Gewichte der Knoten, die (Punkt A) entsprechen, sind irrelevant.$V \setminus R$