NP-harte Probleme auf Wegen

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Jeder weiß, dass es viele Entscheidungsprobleme gibt, die für allgemeine Diagramme NP-schwer sind, aber ich interessiere mich für Probleme, die sogar NP-schwer sind, wenn das zugrunde liegende Diagramm ein Pfad ist. Können Sie mir helfen, solche Probleme zu sammeln?

Ich habe bereits eine verwandte Frage zu NP-harten Problemen an Bäumen gefunden .

graph-theory np-hardness

— Benjamin
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Wenn Sie diese Frage sehen, sollten Sie auch die akzeptierte Antwort sorgfältig lesen: "Nehmen Sie jedes NP-schwierige Problem in Bezug auf Supersequenzen, Superstrings, Teilstrings usw. und interpretieren Sie einen String als beschrifteten Pfadgraphen neu."

— Saeed

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Nur eine Anmerkung: Wenn die Pfade nicht beschriftet sind, sind sie offensichtlich stark komprimierbar und die kompakte Darstellung ist eine vernünftige Wahl (

Bits, um einen Pfad von

Knoten darzustellen ) ... so können Sie auch harte Probleme, die nicht vorhanden sind, "konvertieren" verwende keine unäre Kodierung; zB Subset Summe: gegebene

unmarkierte Wege der Länge

, Gibt es eine Untergruppe von ihnen , die verbunden werden , um einen Pfad der Länge zu bilden ,

?

\log n

$\log n$

n

$n$

n

$n$

a_{1}, . . ., a_{n}

$a_1,...,a_n$

b

$b$

— Marzio De Biasi

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Ein Regenbogen-Matching in einem kantenfarbenen Diagramm ist ein Matching, dessen Kanten unterschiedliche Farben haben. Das Problem wird: eine Kante farbener Diagramm gegeben und eine ganze Zahl , hat eine Regenbogenanpassung mit mindestens Kanten? Dies ist als Regenbogenanpassungsproblem bekannt , und seine NP sind auch für richtig kantenfarbene Pfade vollständig. Die Autoren stellen sogar fest, dass vor diesem Ergebnis nach bestem Wissen kein ungewichtetes Graphproblem als NP- hart für einfache Pfade bekannt ist. $G$ $k$ $G$ $k$

Siehe Le, Van Bang und Florian Pfender. "Komplexitätsergebnisse für Rainbow Matchings." Theoretische Informatik (2013) oder die arXiv-Version .

— Juho
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Hier sind einige einfache Beobachtungen.

Ein nicht gefärbtes Pfaddiagramm codiert im Grunde genommen eine Ganzzahl, sodass Sie jedes NP-harte Problem mit nicht-codierten Ganzzahlen als Pfaddiagrammproblem interpretieren können. Wenn Sie mehrere in Unary codierte Ganzzahlen zulassen (= eine disjunkte Vereinigung von Pfadgraphen), können Sie einige stark NP-vollständige Probleme wie 3-Partition verwenden.
Ein farbiger Pfadgraph codiert ein Wort in einem festen Alphabet, sodass Sie wiederum ein NP-schweres Problem mit Wörtern haben können. Ein mir bekanntes Beispiel ist das Disjoint Factors-Problem, das in Bodlaender, Thomassé und Yeo eingeführt wurde .

— Super0
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3

Das ist im Grunde @ Saeeds Kommentar ..

— RB

Richtig, dann zögern Sie nicht, meine Antwort abzustimmen. Was NP-harte Probleme auf Bäumen betrifft, kann ich das bekannte Bandbreitenproblem erwähnen; In einem Forschungsbericht von Bodlaender, den ich online nicht finden konnte, hat sich gezeigt, dass es für die W-Hierarchie schwierig ist.

— Super0

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Das MinCC-Grafikmotiv ist NP-hart, wenn die Grafik ein Pfad ist (sogar APX-hart). Suchen Sie anhand eines Diagramms mit Farben auf den Scheitelpunkten und einer Reihe von Farben einen Untergraphen, der der Reihe von Farben entspricht, und minimieren Sie die Anzahl der verbundenen Kompositionen. Siehe Komplexitätsprobleme bei der Suche nach vertexfarbenen Diagrammmustern, JDA 2011.

— Olf
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Finden Sie bei einem Pfad mit Knoten und gewichteten Kanten , ob die Knoten unter Verwendung von Zahlen in (Vermeidung doppelter Bezeichnungen) so beschriftet werden können , dass die absolute Differenz von Die Beschriftung zweier benachbarter Knoten entspricht dem Gewicht der Kante: $n$ $1 \leq \text{weight}(u,v) < n$ $[1..n]$

| lab (u) - lab (v) | = weight (u, v)

$| \text{lab}(u) - \text{lab}(v)| = \text{weight}(u,v)$

Dies entspricht dem Problem der Permutationsrekonstruktion aus Differenzen dem es sich um einen NPC handelt (eines meiner "inoffiziellen" Ergebnisse :-).

— Marzio De Biasi
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3

Eine triviale Antwort, die einigen der obigen Aussagen sehr nahe kommt, aber meiner Meinung nach eindeutig ist.

Korrigieren Sie alle für die Polynomzeit berechenbaren Codierungen $f\colon\mathbb{N}^3\to\mathbb{N}$ von Dreifachen $\langle k,m,w\rangle$ als natürliche Zahlen. Die Menge der Werte $f(k,m,w)$ so dass die $m$ Die nichtdeterministische Turingmaschine akzeptiert ihre $w$ Eingabe in höchstens $n^{\log k}$ Schritte (wo $n$ ist die Länge dieser Eingabe) ist NP- vollständig. ( $\log k$ damit wir effektiv codieren $k$ in unary.) Diese Menge von Werten kann als eine Menge von Pfaden dargestellt werden.

— David Richerby
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3

Das Unsplittable Flow Problem (UFP) bleibt auf einem Pfad NP-hart. Tatsächlich ist UFP auch an einer Kante NP-hart, da es dem Knapsack-Problem entspricht.

— Arindam Pal
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3

Das Rainbow Dominating Set (RDS) bleibt auf Wegen NP-hart. Bei einem Scheitelpunkt-farbigen Diagramm ist ein RDS ein DS, bei dem jede Farbe des Diagramms mindestens einmal erscheint.

Tropisch dominierende Mengen in vertexfarbenen Graphen , JDA'18

— Olf
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Dominierendes Set und unabhängiges Dominierendes Set sind auf Pfaden NP-hart, wenn auch in der Eingabe ein "Konfliktdiagramm" vorhanden ist, bei dem eine Kante in diesem Diagramm ein Paar von Eckpunkten ist, die nicht beide in der Lösung sein können.

Kornett, Alexis; Laforest, Christian , Herrschaftsprobleme ohne Konflikte , Diskrete Appl. Mathematik. 244, 78 & ndash; 88 (2018). ZBL1387.05181 .

— Olf
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