Die Anzahl der Zustände lokaler Automaten

Ein deterministischer Automat heißt k- lokal für k > 0, wenn für jedes w ∈ X k die Menge { δ ( q , w ) : q ∈ Q } höchstens enthält ein Element. Intuitiv bedeutet dies, dass wenn ein Wort w der Länge k zu einem Zustand führt, dieser Zustand eindeutig ist oder anders gesagt wird als ein beliebiges Wort der Länge$\mathcal A = (X, Q, q_0, F, \delta)$$k$$k > 0$$w \in X^k$$\{ \delta(q,w) : q \in Q \}$$w$$k$ Die letzten k Symbole bestimmen den Zustand, zu dem es führt.$> k$$k$

Wenn nun ein Automat lokal ist, muss er für einige k ' < k nicht k ' -lokal sein , sondern muss für k ' > k k ' -lokal sein, da die letzten Symbole eines Wortes | w | > k Bestimmen Sie den Zustand, falls vorhanden, eindeutig.$k$$k'$$k' < k$$k'$$k' > k$$|w| > k$

Jetzt versuche ich, die Anzahl der Zustände und die Lokalität eines Automaten zu verbinden. Ich vermute:$k$

Lemma: Let sein k -local, wenn | Q | < k dann ist der Automat auch | Q | -lokal.$\mathcal A = (X,Q,q_0,F,\delta)$$k$$|Q| < k$$|Q|$

Aber ich habe keine Beweise oder Ideen bewiesen?

Ich hoffe , dieses Lemma herzuleiten etwas über die Anzahl der Zustände eines Automaten , die nicht ist -local für alle k ≤ N bei einer festen N > 0 , aber k -local für einige k > N .$k$$k \le N$$N > 0$$k$$k > N$

Da Sie sagen , dass sollte höchstens ein Element, werde ich davon ausgehen , dass Sie die Version von DFA verwenden , wo δ teilweise sein kann. Dann ist dies ein Gegenbeispiel: X = { a , b } , Q = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } , δ ( q , a ) $T_w:=\{\delta(q,w):q\in Q\}$$\delta$ für q < 4 und δ ( 1 , b ) = 2 , δ ( 2 , b ) = 3 , δ ( 4 , b ) = 0 . F und q 0 spielen für diese Frage offensichtlich keine Rolle.$X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3,4\},\delta(q,a)=q+1$$q<4$$\delta(1,b)=2,\delta(2,b)=3,\delta(4,b)=0$$F$$q_0$

Der Automat ist lokal, aber nicht 5- lokal, da T a b a a b = { 0 , 3 } .$6$$5$$T_{abaab} = \{0,3\}$

Bearbeiten: Dieses Gegenbeispiel funktioniert nicht, ich werde es behalten, damit die Kommentare Sinn machen. Das Folgende tut es jedoch.

Nehmen Sie mit den Übergängen 0 → 1 ( a ) , 1 → 2 ( a ) , 2 → 3 ( a ) , 2 → 0 ( b ) , 3 → 2 ( b ) . Dieser Automat ist $X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3\}$$0\to 1(a),1\to 2(a), 2\to 3(a), 2\to 0(b), 3\to 2(b)$$5$-lokal, aber nicht -lokal: für a a b a erhalten wir die Pfade 0 → 1 → 2 → 0 → 1 und 1 → 2 → 3 → 2 → 3 , dh T a a b a = { 1 , 3 } .$4$$aaba$$0\to 1\to 2\to 0\to 1$$1\to 2\to 3\to 2\to 3$$T_{aaba}=\{1,3\}$

Eine späte Antwort, aber die an die Synchronisation gebundene Verzögerung wurde für mehrere Klassen von Automaten untersucht: siehe zum Beispiel Eindeutige Automaten; Béal et al. MCS'08 .

$\Omega(|Q|^2)$$O(|Q|^2)$

$k$$k$