Co-NP-Vollständigkeit der minimalen TSP-Tour?

Dieses Problem ergab sich aus meinem letzten Blogeintrag . Angenommen, Sie erhalten eine TSP-Tour. Ist es co-NP-vollständig, um festzustellen, ob es sich um ein Minimum handelt?

Genauer ist das folgende Problem NP-vollständig:

Instanz: Gegeben ist ein vollständiger Graph G mit Kanten, die mit positiven ganzen Zahlen gewichtet sind, und ein einfacher Zyklus C, der alle Knoten von G aufruft.

Frage: Gibt es einen einfachen Zyklus D, der alle Knoten von G so aufruft, dass das Gesamtgewicht aller Kanten von D in G genau kleiner ist als das Gesamtgewicht aller Kanten von C in G?

Eine Skizze einer möglichen Reduktion zum Nachweis der NP-Vollständigkeit.

Informell geht es von einer modifizierten 3SAT-Formel aus, die zeigt, dass 3SAT ASP-vollständig ist (ein weiteres Lösungsproblem), und "folgt" der Standard-Reduktionskette 3SAT => DIRECTED HAMCYCLE => UNDIRECTED HAMCYCLE => TSP

• Beginnt mit einer 3SAT Formel mit n Variablen x 1 , . . . x n und m caluses C 1 , . . . , C m ;$\varphi$$n$$x_1,...x_n$$m$$C_1,...,C_m$
• Verwandle es in eine neue Formel füge eine neue Variable $\varphi'$$t$ ... ;
• ... und jede Klausel auf ( $(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3})$;$(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3} \lor t)$
• Von bauen , um die Diamant Struktur Graph G = { V , E } verwendet , um den DIRECTED Hamilton - Operator CYCLE ist NP-Complete zu beweisen; Angenommen, jede Klausel C j entspricht dem Knoten N j in G ;$\varphi'$$G = \{V,E\}$$C_j$$N_j$$G$
• Modifiziere in Graph G ' = { V ' , E ' } und ersetze jeden Knoten u durch drei verbundene Knoten $G$$G' = \{V',E'\}$$u$ und modifiziere die Kanten gemäß der Standardreduktion, die verwendet wird, um die NP-Vollständigkeit von UNDIRECTED HAMILTONIAN CYCLE zu beweisen aus DIRECTED HAMILTONIAN CYCLE dh u 1 ist der Knoten, der für eingehende Kanten verwendet wird, u 3 ist der Knoten, der für ausgehende Kanten verwendet wird;$u_1, u_2, u_3$$u_1$$u_3$
• Konvertiere die UNREGELTE HAMILTONISCHE ZYKLUS-Instanz auf in eine TSP-Instanz T, in der alle Kanten von G ' das Gewicht w = 1 haben , mit Ausnahme der (eindeutigen) Kante in der Raute, die zu der "positiven" Zuordnung von t mit dem Gewicht w = geht 2 (roter Rand in der Abbildung unten); Schließlich haben die Kanten, die hinzugefügt werden, um G 'zu vervollständigen, das Gewicht w = 3 .$G'$$T$$G'$$w = 1$$t$$w = 2$$G'$$w = 3$

Eindeutig die TSP - Instanz hat einen einfachen Zyklus , dass Besuche alle Knoten den die erfüllende Belegung von φ ' , in der t = t r u e (und diese Tour kann leicht in Polynomzeit konstruiert werden), aber es hat Gesamtgewicht | V ' | + 1 (da es verwendet die Kante , die entsprechen die Belegung t = t r u e , dass das Gewicht 2 hat). T hat einen weiteren einfachen Zyklus, der alle Knoten mit einem niedrigeren Gesamtgewicht | besucht V ' $T$$\varphi'$$t = true$$|V'|+1$$t = true$$T$$|V'|$wenn und nur wenn die Kante des Gewichts Das entspricht die Zuordnung t = t r u e nicht verwendet wird ; oder äquivalent, wenn und nur wenn es eine andere befriedigende Zuordnung von φ 'gibt, in der t = f a l s e ist ; Dies kann aber genau dann zutreffen, wenn die ursprüngliche Formel φ erfüllt ist.$2$$t = true$$\varphi'$$t = false$$\varphi$

Ich werde mehr darüber nachdenken und einen formellen Beweis schreiben (wenn es sich nicht als falsch herausstellt :-). Lassen Sie mich wissen, wenn Sie weitere Details zu einer oder mehreren der oben genannten Passagen benötigen.

Wie durch domotorp bemerkt ist eine interessante Folge , dass das folgende Problem NP-vollständig ist: ein Graph Gegeben und ein Hamilton - Pfad in ihm, hat G hat einen Hamilton - Zyklus?$G$$G$

Papadimitriou & Steiglitz (1977) haben NP-Vollständigkeit dieses Problems gezeigt.