Übersetzen von SAT nach HornSAT

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Ist es möglich, eine Boolesche Formel B in eine äquivalente Konjunktion von Horn-Klauseln zu übersetzen? Der Wikipedia-Artikel über HornSAT scheint zu implizieren, dass dies der Fall ist, aber ich konnte keine Referenz aufspüren.

Beachten Sie, dass ich nicht "in polynomialer Zeit" meine, sondern "überhaupt".

reference-request lo.logic sat

— Evgenij Thorstensen
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Was meinst du mit "übersetzen"? Es ist offensichtlich, dass es SAT-Instanzen gibt, die nicht als HornSAT-Formel geschrieben werden können. Zum Beispiel die Klausel (p oder q). Aber vielleicht meinen Sie, dass Sie eine Reduzierung wünschen, sodass die Eingabe-SAT-Formel erfüllt werden kann, wenn die Ausgabe-HornSAT-Formel erfüllt werden kann? In diesem Fall gibt es natürlich die geringfügige Reduzierung, da Sie sich nicht für Effizienz interessieren ...

— Arnab

Ich meine nicht gleich befriedigend, da das in der Tat trivial ist, ohne die Effizienz einzuschränken. Ich meine äquivalent zu "habe die gleichen befriedigenden Zuordnungen", wenn wir die Variablen betrachten, die sowohl der SAT-Instanz als auch der entsprechenden HornSAT-Instanz gemeinsam sind (wenn wir einige Hilfsvariablen hinzufügen mussten, projizieren wir sie heraus). Ich stimme zu, dass es nicht möglich sein sollte, genau für das Beispiel (P v Q), aber ich weiß nicht, wie ich es beweisen soll. Haben Sie eine Proofskizze im Sinn?

— Evgenij Thorstensen

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Die Frage ist immer noch nicht eindeutig. Können Sie erklären, was Sie mit "projizieren" meinen? Meinen Sie "Zuweisung A erfüllt die SAT-Instanz F, wenn es eine Zuweisung B zu Hilfsvariablen gibt, so dass (A, B) die HornSAT-Instanz F 'erfüllt"? Wenn ja, dann können Sie es meiner Meinung nach tun, indem Sie einfach die P-Vollständigkeit von HornSAT verwenden.

— Ryan Williams

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Nein. Konjunktionen von Horn-Klauseln lassen zumindest Herbrand-Modelle zu, was bei Disjunktionen von positiven Literalen nicht der Fall ist. Vgl. Lloyd, 1987, Grundlagen der Logikprogrammierung .

Least Herbrand-Modelle haben die Eigenschaft, dass sie sich an den Schnittpunkten aller Befriedigenden befinden. Die Herbrand-Modelle für sind , die keine Schnittmenge enthalten, wie Arnab sagt, ist ein Beispiel für eine Formel das kann nicht als eine Konjunktion von Horn-Klauseln ausgedrückt werden. $(a \lor b)$ $\{\{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}$ $(a \lor b)$

Falsche Antwort überschrieben

— Charles Stewart
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Clever, aber die Klausel -a_1 & ... & -a_n -> # ist keine Horn-Klausel.

— Evgenij Thorstensen

@Evgenij: Es ist.

— Radu GRIGore

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Eine Hornklausel ist eine Disjunktion von Literalen mit höchstens einem positiven Literal. Wenn wir das Obige in eine Disjunktion von Literalen übersetzen, erhalten wir a_1 v ... v a_n, wobei alle Literale positiv sind. Die obige Klausel ist Dual-Horn, aber das hilft meinem Interesse nicht.

— Evgenij Thorstensen

@rgrig: Nein, ich war verwirrt. @Evgenij: Antwort behoben.

— Charles Stewart

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Die Erfüllbarkeit kann auf folgende Weise erreicht werden (Reduktion von 2SAT auf HornSAT). Auf diese Weise kann also auch zu einer Hornformel reduziert werden. Vielen Dank an Joshua Gorchow für diesen Hinweis. $(p \lor q)$

$\phi$ $C_1$ $C_k$ $x_1$ $x_n$

$Q$

$\times$ $n$ $2$ $+ 2n + 1$ $x$ $C_i$ $\phi$ $D$ $z_D$

$\times$ $n$ $2$ $(x_i, ~x_j)$ $2n$ $x_i$ $=$ $\times$ $n$ $2$ $+ 2n + 1$

$F$ $D$ $E$ $(z_D \land z_E \to z_F)$ $Q$ $\times$ $n$ $2$ $+2n+1$ $C_i$

$z_{C_i}$ $Q$ $C_i$ $\phi$ $(\neg z_{empty})$ $Q$

$Q$ $Q$ $\phi$

— Martin Seymour
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ϕ_{1}

$\phi_1$

ϕ_{2}

$\phi_2$

ϕ_{1}

$\phi_1$

ϕ_{2}

$\phi_2$

2

$\phi = (X_1 \vee X_2 \vee \neg X_3 \vee \neg X_4)$ $\phi$

Edit: oops hat nicht bemerkt, dass dies bereits beantwortet wurde