Vergleich des Wachstums der Anzahl der syntaktischen Klassen und der Nerode-Klassen.

Definieren Sie für eine Sprache L ⊆ ⊆ ^ * die syntaktische Kongruenz ≡ von L als die geringste Kongruenz auf Σ ^ * , die L sättigt , dh:

u ≡ v ⇔ (∀ x, y) [xuy ∈ L ↔ xvy ∈ L].

Definieren Sie nun die Nerode-Äquivalenz als die folgende rechte Kongruenz:

u ∼ v ⇔ (∀ x) [ux ∈ L ↔ vx ∈ L].

Sei [u] die Äquivalenzklasse von u in Bezug auf ≡ und 〈u〉 in Bezug auf ∼ . Definieren Sie nun i (n) als die Anzahl verschiedener [u] für u der Größe n und definieren Sie j (n) auf ähnliche Weise für ∼ .

Nun stellt sich die Frage, in welcher Beziehung stehen die beiden Funktionen zueinander?

Zum Beispiel besagt ein Standardsatz (Kleene-Schützenberger, glaube ich), dass i (n) durch eine Konstante begrenzt ist, wann immer j (n) ist, und zwar wechselseitig.

Frage: Gibt es in diesem Trend ein anderes Ergebnis? Was ist, wenn einer von ihnen zum Beispiel ein Polynom ist?

Es scheint, dass dieses Papier http://arxiv.org/abs/1010.3263 für Ihre Frage relevant sein könnte.

Die Zusammenfassung lautet:

Die Zustandskomplexität einer regulären Sprache ist die Anzahl der Zustände in dem minimalen deterministischen Automaten, der die Sprache akzeptiert. Die syntaktische Komplexität einer regulären Sprache ist die Kardinalität ihrer syntaktischen Halbgruppe. Die syntaktische Komplexität einer Unterklasse regulärer Sprachen ist die schlimmste syntaktische Komplexität, die als Funktion der Zustandskomplexität der Sprachen in dieser Klasse angenommen wird. Wir untersuchen die syntaktische Komplexität der Klasse der regulären idealen Sprachen und ihrer Komplementäre, der geschlossenen Sprachen. Wir beweisen, dass eine enge Obergrenze für die Komplexität der rechten Ideale und der mit Präfixen versehenen Sprachen ist und dass es linke Ideale und mit Suffixen versehene Sprachen mit syntaktischer Komplexität gibt$n$$n^{n-1}$$n^{n-1}+n-1$und zweiseitige Ideale und faktorgeschlossene Sprachen syntaktischer Komplexität .$n^{n-2}+(n-2)2^{n-2}+1$

Soweit ich weiß, beantwortet dies Ihre Frage nach der Größe der syntaktischen und der Myhill-Nerode-Halbgruppe: Generell kann die syntaktische Kongruenz exponentiell viele Klassen als die Myhill-Nerode-Beziehung haben.

Der letzte Kommentar. Normalerweise wird der Endzeuge beider Halbgruppen für reguläre Sprachen M.Rabin und D.Scott zugeschrieben (Endliche Automaten und ihre Entscheidungsprobleme. IBM Jourmal. April 1959). Insbesondere ergibt sich aus dem Text von Rabin und Scott, dass die Anzahl der syntaktischen Klassen nicht überschreitet , wobei die Anzahl der Myhill-Nerode-Klassen ist.$n^n$$n$