Untergrenze für die Größe maximaler intervallinduzierter Teilgraphen eines Vertex-Graphen

Sei ein maximal induzierter Intervall-Teilgraph eines Graphen . Wenn， Was ist dann die kleinste Anzahl von ? $H$ $G=(V,E)$ $n=|V|$ $V(H)$

Die Zahl beträgt höchstens : Betrachten Sie einen Satz disjunkter Löcher. $3n/4$ $4$

Kann es kleiner sein?

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— Yixin Cao
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Ich denke, die Antwort ist und der Beweis ist der gleiche wie der klassische Beweis des Ramsey-Theorems. Einerseits haben Sie immer einen vollständigen oder leeren Untergraphen mit diesen vielen Eckpunkten. hat ein Zufallsgraph keinen großen induzierten freien Untergraphen. Für letzteres wurde die Anzahl der induzierten Untergraphen auf Eckpunkten durch und für jede Grenze die Wahrscheinlichkeit, durch wobei eine Konstante ist. Dies können wir tun, weil ein vollständiger Graph auf Eckpunkten disjunkte . $\Theta(\log n)$ $C_4$ $t$ $n^t$ $C_4$ $c^{t^2}$ $c<1$ $t$ $\Omega(t^2)$ $K_4$

Teilen Sie die möglichen Kanten unter allen Eckpunkten genauer in disjunkte Cliquen von vier Eckpunkten auf. In einer solchen Clique von vier Eckpunkten ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kanten zwischen ihnen kein bilden, eine Konstante . Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in keiner der Cliquen ein gibt, . Dies ist eindeutig eine Obergrenze für den Zufallsgraphen, der . $t\choose 2$ $t$ $\Omega(t^2)$ $C_4$ $p<1$ $C_4$ $p^{\Omega(t^2)}$ $C_4$

— domotorp
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Großartig! Können Sie das näher erläutern? Ich habe diesen Ansatz versucht, aber meine probabilistischen Werkzeuge sind irgendwie verrostet.

— Hsien-Chih Chang 28 之

Welcher Teil? Der Beweis folgt Schritt für Schritt dem berühmten Beweis von Erdos: en.wikipedia.org/wiki/Probabilistic_method#First_example

— domotorp

Der Teil, in dem wir die Wahrscheinlichkeit des Teilgraphen an Eckpunkten begrenzen müssen, ist ; insbesondere weiß ich nicht, wie ich dies an binden soll . Ich verstehe auch nicht die Beziehung zwischen dem letzten Satz und dem vorletzten Satz.

H

$H$

t

$t$

C_{4}

$C_4$

c^{t^{2}}

$c^{t^2}$

— Hsien-Chih Chang 29 之

Ah, Rand disjunkte 4-Cliquen. Du hast recht. Danke für die Erklärung! @ Yixin: Ich denke, Domotorp hat eine viel bessere Antwort. Du solltest seine statt meiner akzeptieren.

— Hsien-Chih Chang 29 之

Wir können ; Betrachten Sie den vollständigen -Partit-Graphen, solange es zwei Parteien gibt, die beide mehr als einen Knoten im Inneren haben, gibt es ein induziertes , sodass es nicht inteval sein kann. Daher müssen wir mindestens Knoten entfernen , um alle induzierten zu zerstören . $2\sqrt{n}-1$ $\sqrt{n}$ $C_4$ $(\sqrt{n}-1)^2 = n - 2\sqrt{n} + 1$ $C_4$

— Hsien-Chih Chang 張顯之
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Großartig! Können wir weiter gehen, um zu zeigen, dass dies die Untergrenze ist? Es sieht wirklich so aus. PS Ich werde dies als Antwort markieren, wenn keine besseren Antworten erscheinen.

— Yixin Cao