Ein einfacher Fall von SAT, der für die Baumauflösung nicht einfach ist


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Gibt es eine natürliche Klasse von CNF-Formeln - vorzugsweise eine, die zuvor in der Literatur untersucht wurde - mit den folgenden Eigenschaften:C

  • ist ein einfacher Fall von SAT, wie z. B. Horn oder 2-CNF, dh die Zugehörigkeit zu C kann in Polynomzeit getestet werden, und die Formeln F C können auf Erfüllbarkeit in Polynomzeit getestet werden.CCFC
  • Es ist nicht bekannt, dass unbefriedigende Formeln kurze (polynomiale) baumartige Auflösungs widerlegen. Noch besser wäre: Es gibt in C unbefriedigende Formeln, für die eine Superpolynom-Untergrenze für die baumartige Auflösung bekannt ist.FCC
  • Andererseits ist bekannt, dass unbefriedigende Formeln in kurze Beweise in einem stärkeren Beweissystem haben, z. B. in einer dag-ähnlichen Auflösung oder einem noch stärkeren System.C

sollte nicht zu spärlich sein, dh viele Formeln mit n Variablen für jedes (oder zumindest für die meisten Werte von) n N enthalten . Es sollte auch nicht trivial sein, da es sowohl befriedigende als auch unbefriedigende Formeln enthält.CnnN

Der folgende Ansatz zur Lösung einer beliebigen CNF-Formel sollte sinnvoll sein: Finden Sie eine Teilzuordnung α st, die Restformel F α befindet sich in C , und wenden Sie dann den Polynomzeitalgorithmus für Formeln in C auf F α an . Daher möchte ich neben den völlig anderen Einschränkungen andere Antworten als die derzeit akzeptierte Antwort, da ich denke, dass es selten vorkommt, dass eine beliebige Formel nach Anwendung einer Einschränkung zu einer völlig anderen Einschränkung wird.FαFαCCFα


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Jan, ich denke es ist immer noch möglich künstliche Beispiele zu nennen, zB PHP Union Horn. Ich bin mir nicht sicher, wie man solche Beispiele formal ausschließen kann. Möchten Sie eine Klasse, die einen Namen hat und studiert wurde? (ps: wenn Sie erklären, warum Sie nach einer solchen Klasse suchen, die bei den zusätzlichen Anforderungen helfen könnte, die die Klasse erfüllen sollte.)
Kaveh

Ich bin mir nicht sicher über den letzten Satz. Taubenprobleme können sowohl wahre als auch falsche Formeln haben, oder? Normalerweise sind es nur die wahren Formeln, nicht sicher, wo sich die falschen Formeln in einem Papier befinden. Hat es jemand anderes gesehen? Eine natürliche falsche Taubenlochformel wäre eine, die versucht , n Löchern Tauben zuzuweisen . n+1n
VZN

@Kaveh, du hast recht, aber man kann künstliche Beispiele wahrscheinlich nie ausschließen. Ich habe versucht, die Frage ein wenig zu klären.
Jan Johannsen

Die gewünschte Bedingung in Ihrer letzten Bearbeitung erfordert im Wesentlichen eine erbliche Klasse. Beachten Sie, dass die direkte Codierung von All-Different eine erbliche Klasse von SAT-Instanzen ergibt. Vielleicht könnten Sie klarstellen, warum das Hauptbeispiel, das wir haben (wie durch drei Kommentare / Antworten vorgeschlagen), nicht geeignet ist?
András Salamon

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Ich denke, was Jan will, ist eine natürliche Klasse von Formeln, keine Familie von Formeln. Die Schwierigkeit ist, dass sowohl "natürlich" als auch "Klasse" informelle Konzepte sind. Ich denke, eine Bedingung, die man für eine Klasse stellen kann, ist, ein gewisses Maß an Ausdruckskraft oder Abschluss zu erfordern, damit Familien von Formeln wie PHP nicht als Klasse zählen. Und aus Gründen der Natürlichkeit denke ich, wenn die Klasse zuvor studiert wurde oder einen Namen hat, ist es wahrscheinlich eine natürliche.
Kaveh

Antworten:


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Es hört sich so an, als wären Sie an ganz unterschiedlichen Einschränkungen interessiert (und Ihr letzter Satz ist auf dem richtigen Weg). Dies sind nicht triviale Fälle des Taubenlochprinzips, bei denen die Anzahl der Tauben nicht unbedingt größer als die Anzahl der Löcher ist und außerdem einige Tauben von einigen Löchern ausgeschlossen werden können.

All unterschiedliche Bedingungen können durch Abgleichen in der Polynomzeit niedriger Ordnung entschieden werden.

Wenn alle unterschiedlichen Einschränkungen (unter Verwendung einer von mehreren Codierungen) als SAT-Instanzen ausgedrückt werden, findet das konfliktgesteuerte Lernen von Klauseln normalerweise schnell eine Lösung, wenn es existiert. Bei einer reinen Auflösung für PHP muss jedoch eine superpolynomiell große Menge von Klauseln erstellt werden, um zu zeigen, dass die Instanz nicht zufriedenstellend ist. Diese Grenze gilt eindeutig für dieses allgemeinere Problem. Denken Sie andererseits daran, dass Cooks Codierung des PHP Widerlegungen mit erweiterter Auflösung in Polynomgröße ermöglicht .

  • SA Cook, Ein kurzer Beweis des Taubenlochprinzips mit erweiterter Auflösung , SIGACT News 8 28–32, 1976. doi: 10.1145 / 1008335.1008338

Neuere Arbeiten in dieser Richtung sind Kapitel 5 der Arbeit von Sergi Oliva , die die Grundlage für eine Arbeit mit Alberto Atserias auf der CCC 2013 bildete.

Ich gehe davon aus, dass Sie das klassische Ergebnis von Cook kennen. Vielleicht wollten Sie die Leistung des Beweissystems in Ihrem dritten Zustand einschränken?


Ich bin mir nicht sicher, ob Jan danach sucht, da er speziell nach CNF fragt.
Mikolas

@Mikolas: Könntest du klarstellen, worüber du dir Sorgen machst?
András Salamon

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Ich meinte, wenn ich ein Ergebnis über ganz unterschiedliche Einschränkungen habe, ist es nicht klar, wie dieses Ergebnis in CNF übersetzt wird. Wie ich die Fragen verstehe, wollte Jan CNFs hart für Baum-Res, aber einfach für etwas anderes (z. B. Dag-Res). Mir ist auch nicht klar, warum PHP ein Beispiel dafür wäre, da PHP auch für Dag-Res exponentiell ist. (
Übrigens

@mikolas wie ich die Frage verstehe, ob befriedigende / unbefriedigende Instanzen der Familie in P-Zeit erkannt werden können, aber es ist schwierig für die Baum- oder DAG-Auflösung, das ist, was gesucht wird. Jetzt bin ich mir nicht sicher, ob dies in irgendwelchen Papieren erwähnt wird, aber afaik (weiß jemand mehr?), PHP sat / unsat Instanzen können in P-Zeit erkannt werden.
vzn

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Ich bin mir nicht sicher, warum man auch Sat-Formeln benötigen würde, aber es gibt einige Artikel über die Trennung zwischen allgemeiner und Baumauflösung, z. B. [1]. Es klingt für mich so, als ob Sie das wollen.

[1] Ben-Sasson, Eli, Russell Impagliazzo und Avi Wigderson. "Nahezu optimale Trennung von baumartiger und allgemeiner Auflösung." Combinatorica 24.4 (2004): 585 & ndash; 603.


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Ich bin mir dieser Trennung zwischen baumartiger und dagartiger Auflösung durchaus bewusst, aber dies ergibt nur eine Familie von Formeln. Dies ist genau das künstliche Beispiel, das ich vermeiden wollte.
Jan Johannsen

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Möglicherweise interessieren Sie sich für SAT-Formeln mit kleiner (logarythmischer) "Bandbreite" oder "Baumbreite". Diese Formeln sind rekursiv so partitionierbar, dass die Kommunikationsgrenze zwischen Partitionen klein ist und daher ein enumerativer dynamischer Programmieransatz verwendet werden kann, um sie zu lösen. Das Thema war in den neunziger Jahren beliebt. Ich habe einmal genau die Anzahl der Hamilton-Zyklen in einem kleinen Baumbreitendiagramm mit 24.000 Eckpunkten gezählt, sodass auch # P-Probleme mit kleiner Baumbreite lösbar sind. Bodlaender ist eine wichtige Referenz.


Ich denke, dass zumindest Formeln mit konstanter Baumbreite kurze, baumartige Auflösungs widerlegen. Ich denke also nicht, dass diese Klasse die Anforderungen der Frage erfüllt.
Jan Johannsen

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Dieses folgende Papier scheint in gewisser Weise nahe an dem zu sein, was angefordert wird (wenn es nicht passt, kann JJ vielleicht klären, warum). Die Frage möchte PHP-Instanzen (Pigeonhole) aufgrund des Fehlens beider wahrer / falscher Formeln ausschließen, aber (wie in den anderen Antworten zitiert) PHP ist einer der am besten untersuchten Fälle / Instanzgeneratoren von der theoretischen Seite und hat war schon immer ein Generator für beide erfüllbaren / nicht erfüllbaren Formeln, obwohl die zufriedenstellenden Formeln weniger hervorgehoben / untersucht werden.

nmmnm>nmn

Ein anderer Ansatz wäre, in einen empirischeren Blickwinkel zu gehen und nur zufällige Instanzen zu generieren (vermutlich um den leicht-schwer-leicht zu 50% erfüllbaren Übergangspunkt) und sie zu filtern, um die angegebenen Kriterien zu erfüllen. man würde Implementierungen von Baumauflösung / DAG-Auflösung oder "stärkeren Systemen" erfordern.


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Hier gilt der gleiche Kommentar wie in der Antwort von @Mikolas.
Jan Johannsen

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Verstehe deinen Kommentar nicht, brauche mehr Infos. Ich folge dem Kommentar von Mikolas. "Wie ich die Fragen verstehe, wollte Jan, dass CNFs hart für Baum-Res, aber einfach für etwas anderes (z. B. Dag-Res) sind." Was meinst du mit "das gibt nur eine Familie von Formeln"? Ihre Frage fragt nach einer Familie von Formeln.
vzn

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Nein, meine Frage lautet nach einer Klasse von Formeln. Der Unterschied für mich besteht darin, dass diese Formelfamilien höchstens eine Formel pro Anzahl von Variablen haben, während eine richtige Klasse viele Formeln für jede Anzahl von Variablen haben sollte, unter diesen zufriedenstellenden und unbefriedigenden.
Jan Johannsen

Ich habe bereits an mehreren Stellen erklärt (vgl. Den Kommentar hier und zu anderen Antworten und zur Frage), warum dies nicht das ist, wonach ich suche !! Lesen Sie insbesondere den letzten Absatz der Frage!
Jan Johannsen
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