In den 1980er Jahren hat Razborov gezeigt, dass es explizite monotone Boolesche Funktionen gibt (wie die CLIQUE-Funktion), für deren Berechnung exponentiell viele UND- und ODER-Gatter erforderlich sind. Die Basis {AND, OR} über der Booleschen Domäne {0,1} ist jedoch nur ein Beispiel für eine interessante Gate-Menge, die nicht universell ist. Dies führt zu meiner Frage:
Gibt es einen anderen Satz von Gattern, der sich interessanterweise von den monotonen Gattern unterscheidet, für die exponentielle Untergrenzen der Schaltungsgröße bekannt sind (ohne Tiefe oder andere Einschränkungen für die Schaltung)? Wenn nicht, gibt es eine andere Reihe von Toren, die ein plausibler Kandidat für solche Untergrenzen ist - Grenzen, die nicht unbedingt das Durchbrechen der Natural Proofs-Barriere erfordern würden, wie dies bei Razborovs monotonen Schaltkreisen der Fall war?
Wenn ein solches Gate-Set existiert, wird es mit Sicherheit über einem k-ären Alphabet für k≥3 liegen. Der Grund ist, dass über ein binäres Alphabet die
(1) monotone Gatter ({AND, OR}),
(2) lineare Gatter ({NOT, XOR}) und
(3) Universaltore ({AND, OR, NOT})
schöpfen Sie im Grunde genommen die interessanten Möglichkeiten aus, wie aus dem Klassifikationssatz von Post hervorgeht. (Beachten Sie, dass ich davon ausgehe, dass die Konstanten --- 0 und 1 im Binärfall --- immer kostenlos verfügbar sind.) Bei den linearen Gattern ist jede Boolesche Funktion f: {0,1} n → {0,1} das überhaupt berechenbar ist durch eine Schaltung linearer Größe berechenbar; mit einem universellen Set haben wir es natürlich mit Natural Proofs und den anderen furchterregenden Barrieren zu tun.
Betrachtet man dagegen beispielsweise Gate-Mengen über einem 3- oder 4-Symbol-Alphabet, so eröffnet sich eine breitere Palette von Möglichkeiten - und zumindest meines Wissens sind diese Möglichkeiten noch nie vollständig ausgeschöpft worden vom Standpunkt der Komplexitätstheorie (bitte korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege). Ich weiß, dass die möglichen Gate-Sets unter dem Namen "Klone" in der Universalalgebra ausführlich untersucht werden. Ich wünschte, ich wäre vertrauter mit dieser Literatur, damit ich weiß, was die Ergebnisse aus diesem Bereich für die Komplexität von Schaltkreisen bedeuten.
Auf jeden Fall scheint es nicht ausgeschlossen zu sein, dass es andere dramatische Schaltkreisuntergrenzen gibt, die für die Prüfung reif sind, wenn wir einfach die Klasse der Gate-Sets über endliche Alphabete erweitern, die wir zu berücksichtigen bereit sind. Wenn ich falsch liege, sag mir bitte warum!