η-Konvertierung vs. Extensionalität in Erweiterungen der Lambda-Rechnung

Ich bin oft durch die Beziehung zwischen η-Umwandlung und Extensionalität verwirrt.

Edit: Laut Kommentaren bin ich auch verwirrt über die Beziehung zwischen Extensionsäquivalenz und Beobachtungsäquivalenz. Aber zumindest in Agda mit Extensionsgleichheit für Funktionen (als Postulat) und für einen einfach typisierten Lambda-Kalkül (der eine vollständig abstrakte Semantik hat, wenn ich mich nicht irre), ist die Denotationsgleichheit die gleiche wie die Beobachtungsgleichheit. Fühlen Sie sich frei, mich in Kommentaren oder Antworten zu korrigieren; Ich habe mich zu diesen Themen noch nie systematisch ausbilden lassen.

In der untypisierten Lambda-Rechnung liefert die eta-Regel das gleiche Beweissystem wie die Extensionalitätsregel, wie von Barendregt (zitiert in einer Antwort auf diese Frage ) bewiesen . Ich verstehe das, um zu bedeuten, dass das Beweissystem mit der eta-Regel für die Beobachtungsäquivalenz vollständig ist. .

Was passiert jedoch, wenn wir zu einem typisierten Kalkül wechseln und diesen Kalkül um zusätzliche Basistypen und entsprechende Einführungs- und Eliminierungsformen erweitern? Können wir noch ein vollständiges Beweissystem für die Beobachtungsäquivalenz schreiben? Ich werde über Beweissysteme in Form einer axiomatischen Semantik nach Mitchell's Foundations of Programming Languages ​​(FPL) sprechen. Das Beweissystem / die axiomatische Semantik definiert die Programmäquivalenz.

Frage 1 : erstreckt sich der Satz von Barendregt auf STLC? Entspricht die η-Äquivalenz in diesem Zusammenhang der Extensionalität?

Ich bin gerade von FPL Diskussion von PCF (aber nicht den Abschnitt noch beenden), und es scheint , dass , wenn Sie Paare hinzufügen, Extensionalität erfordert eine zusätzliche Regel, nämlich surjektive Paarung: pair (Proj1 P, Proj2 P) = P. Interessanterweise bezieht sich diese Regel auf die Einführung und Beseitigung von Paaren, genau wie die η-Regel auf die Einführung und Beseitigung von Funktionen.

Frage 2 : Reicht es aus, das surjektive Paarungsaxiom hinzuzufügen, um die Extensionalität in einfach typisierten λ-Rechnungen mit Paaren zu beweisen? edit : Frage 2b : Ist die Surjektivpaarung ein η-Gesetz, wie die in diesem Artikel erwähnten η-Gesetze , wegen der erwähnten strukturellen Ähnlichkeit?

Gehen wir jetzt den ganzen Weg zu PCF. Beschreibungen der Extensionsgleichheit, die ich damals gesehen habe, beweisen, dass Extensionsgleichheit eine Beweisregel durch Induktion impliziert, aber sie sagen nicht, ob das ausreicht. Da die PCF Turing-vollständig ist, ist die Gleichstellung von Männern und Frauen unentscheidbar . Dies bedeutet jedoch nicht, dass es kein vollständiges Beweissystem gibt, da die Länge der Beweise unbegrenzt ist. Insbesondere würde ein solches Beweissystem möglicherweise Gödels Unvollständigkeitssätzen widersprechen. Und dieses Argument könnte sogar auf PCF ohne fixund auf Gödels System T zutreffen .

Frage 3 : Gibt es ein vollständiges Beweissystem für die Beobachtungsäquivalenz in PCF? Was ist mit PCF ohne fix?

Update: vollständige Abstraktion

Ich antworte hier auf den Kommentar zur vollständigen Abstraktion. Ich denke, PCF leidet unter zwei verschiedenen Arten von Problemen: Es ist nicht terminiert (via Fix), was den Verlust der vollständigen Abstraktion zur Folge hat, aber es hat auch natürliche Zahlen. Beide Probleme erschweren die Behandlung der Beobachtungsäquivalenz, aber ich glaube, dass sie unabhängig voneinander sind.

Einerseits verliert PCF die volle Abstraktion, weil es parallel oder im semantischen Bereich lebt (Plotkin 1977), und das scheint mit Nichtbeendigung zu tun zu haben. Ralph Loader (2000, "Finitary PCF is not decidable") zeigt, dass Finitary PCF (ohne Naturalien, aber mit Nichtbeeinflussung) bereits unentscheidbar ist; Daher kann sich eine vollständig abstrakte Semantik (wenn ich richtig zusammenfasse) nicht auf Domänen mit berechenbaren Operationen beschränken.

Nehmen Sie auf der anderen Seite Gödels System T, das keine Beeinträchtigung aufweist. (Ich bin nicht sicher, ob es eine vollständig abstrakte Semantik hat, aber ich schätze ja, da das Problem nur für PCF erwähnt wird; die Domäne muss primitive rekursive Funktionen höherer Ordnung enthalten). In Harpers praktischen Grundlagen für Programmiersprachen wird die Beobachtungsäquivalenz für diese Sprache erörtert. Sec. 47.4 trägt den Titel "Einige Gleichheitsgesetze" und zeigt einige zulässige Beweisregeln für die beobachtbare Gleichwertigkeit. Nirgends heißt es, ob das Beweissystem vollständig ist, also denke ich, ist es nicht, aber es wird auch nirgends diskutiert, ob es fertiggestellt werden kann. Meine besten Vermutungen gehen auf Gödels Satz von der Unvollständigkeit zurück.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre Frage vollständig beantworten kann, aber ich werde es versuchen und einige meiner eigenen Fragen stellen, die zu weiteren Diskussionen zu diesem Thema führen könnten.

Mein erster Punkt ist folgender: Zwei Terme im untypisierten λ- Kalkül sollen beobachtbar gleich sein, wenn für jeden Term M : M t  terminiert  ⇔ M t '  terminiert  Wobei terminiert bedeutet "hat eine β- normale Form"$t, t'$ $\lambda$$M$

$$M\ t \mbox{ terminates } \Leftrightarrow M\ t' \mbox{ terminates }$$ $\beta$

Ich finde es natürlicher, Begriffe mit "Löchern" oder Kontexten anstelle von einfach Begriffen M zu betrachten und E [ t ] anstelle von M t zu schreiben . Die beiden Ansichten sind zweifellos gleichwertig (wenn Variablen nicht an den Kontext gebunden sind), da Sie durch Abstraktion den Kontext E [ _ ] in den Term λ x umwandeln können . E [ x ] .$E[\_]$$M$$E[t]$$M\ t$$E[\_]$$\lambda x.E[x]$

Nun ist es eine Tatsache, dass die Beobachtungsgleichheit im untypisierten Kalkül nicht von der -Gleichheit erfasst wird! In der Tat gibt es eine ganze Klasse von Begriffen, die beide nicht enden und keine Kopfnormalformen haben und daher alle beobachtbar gleich sind. Diese werden manchmal die genannten ewigen Begriffe oder unlösbare Bedingungen , und hier sind zwei solche Begriffe: ( λ x . X x ) ( λ x . X x ) und ( λ x . X x x ) ( λ x $\beta\eta$

$$(\lambda x. x\ x)(\lambda x. x\ x)$$ Es ist ziemlich einfach zu zeigen, dass diese Terme nicht β η -gleich sind. $$(\lambda x. x\ x\ x)(\lambda x. x\ x\ x)$$ $\beta\eta$

Wenn alle ewigen Begriffe identifiziert sind, wird die Beobachtungsgleichheit durch ein klassisches Ergebnis vollständig erfasst (siehe Barendregt- Theorem 16.2.7).

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Nun zu den getippten Steinen. Betrachten wir zunächst den einfach eingegebenen Kalkül ohne natürliche Zahlen. Die obige Definition der Beobachtungsgleichheit wird trivial, da sich jeder Begriff normalisiert! Wir brauchen eine feinere Unterscheidung. Wir werden die Wertgleichung t 1 ↓ t 2 für geschlossene Terme verwenden, die durch Induktion auf den Typ von t 1 und t 2 definiert wird . Fügen wir zunächst für jeden Typ A eine unendliche Anzahl von Konstanten c A , c ' A , c " A , ... hinzu . Wir werden eine Konstante c x wählen$\lambda$$t_1\downarrow t_2$$t_1$$t_2$$A$$c_A, c_A', c''_A,\ldots$$c_x$vom entsprechenden Typ, um jeder Variablen zu entsprechen .$x$

1. An dem Basistyp , t 1 ↓ t 2 iff die β -head Normalform t 1 ist , c u 1 ... u n und die von t 2 ist , d v 1 ... v n und c = d und u 1 ↓ v 1 , … , U n ↓ v n bei ihren jeweiligen Typen.$B$$t_1\downarrow t_2$$\beta$$t_1$$c\ u_1\ldots u_n$$t_2$$d\ v_1\ldots v_n$$c=d$$u_1\downarrow v_1,\ldots, u_n\downarrow v_n$

2. Beim Pfeiltyp verringert sich wenn beide Terme β zu einer λ- Abstraktion führen.$t_1\downarrow t_2$$\beta$$\lambda$

Beachten Sie, dass ich in dieser Definition nur Konvertierung verwende.$\beta$

Nun definiere ich Kontexte als: mit dem Kopfkontext, der Anwendung, der Abstraktion bzw. der Substitution (durch geschlossene Begriffe).

$$[\_]\mid E[\_]\ u\mid t\ E[\_]\mid \lambda x.\ E[\_]\mid E[\_]\theta$$

Wir können dann und t definieren$t$ , gut typisiert vom Typ T , genau,wenn für jeden Kontext E [ _ ] so ist, dass E [ t ] , E [ t ' ] gut typisiert undgeschlossen sind. E [ t ] ↓ E [ t ' ] schreiben wirin diesem Fall t = o b s t $t'$$T$$E[\_]$$E[t],E[t']$

$$E[t]\downarrow E[t']$$ $t=_{\mathrm{obs}}t'$

Nun ist es leicht zu beobachten , dass , wenn dann t = o b s t ' . Die andere Richtung ist weniger trivial, gilt aber auch: Tatsächlich können wir , wenn t = o b s t 'ist , durch Induktion des Typs zeigen, dass die Terme für β η gleich sind :$t=_{\beta\eta}t'$$t=_{\mathrm{obs}}t'$$t=_{\mathrm{obs}}t'$$\beta\eta$

1. Nehmen Sie bei Basistyp einfach als [ _ ] θ , wobei θ die Substitution ist, die x zu β c x ' v 1 θ ... v n θ sendet . Wir haben dann c x = c x $E[\_]$$[\_]\theta$$\theta$$x$. Wir haben E [ t ] = t & thgr; und E [ t ' ] = t ' & thgr ; . Wir haben t θ → & bgr; c x u 1 θ ... u n θ und t ' θ $c_x$$E[t]=t\theta$$E[t']=t'\theta$$t\theta\rightarrow_\beta c_x\ u_1\theta\ldots u_n\theta$$t'\theta\rightarrow_\beta c_{x'}\ v_1\theta\ldots v_n\theta$$c_x=c_{x'}$ und somit . Nun können wir nicht sofort schließen, dass u i θ = β η v i θ ist . Denn wenn u i und v i sind λ -abstractions, dann trivialerweise u i θ ↓ v i θ ! Der Trick hier ist, x zu senden$x=x'$$u_i\theta=_{\beta\eta}v_i\theta$$u_i$$v_i$$\lambda$$u_i\theta\downarrow v_i\theta$$x$zu und dies so oft wie nötig zu wiederholen. Ich bin ein bisschen verwirrt in den Details hier, aber die Idee ähnelt dem Satz von Böhm ( Barendregt wieder 10.4.2).

   $$\lambda \vec{y}.\tilde{c_x}\ (y_1\vec{c_1})\ldots (y_n\vec{c_n})$$

2. Nehmen Sie bei Pfeiltyp als [ _ ] c y , dh Anwendung auf c y mit c y und y nicht in t oder t ' . Nach Induktionsannahme haben wir: t c y = & bgr; & eegr; t ' c y und so t y = & bgr; & eegr; t ' y Welche gibt λ y . t y = $E[\_]$$[\_]\ c_y$$c_y$$c_y$$y$$t$$t'$

   $$t\ c_y \ =_{\beta\eta}\ t'\ c_y$$ $$t\ y \ =_{\beta\eta}\ t'\ y$$ und schließlich durchη-Equität: t = β η t $\lambda y.t\ y\ =_{\beta\eta}\ \lambda.t'\ y$$\eta$ $$t\ =_{\beta\eta}\ t'$$

Das war schwerer als erwartet!

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Okay, lasst uns das System T angehen. Fügen wir der Mischung einen Typ , die Konstruktoren 0 und S und einen Rekursor r e c T für jeden Typ T hinzu , mit den " β- Regeln" r e c T u v 0 → β u r e c T u v ( S n ) → & bgr; V n ( r e c T u v n $\mathbb{N}$$0$$S$$\mathrm{rec_T}$$T$$\beta$

$$\mathrm{rec_T}\ u\ v\ 0\rightarrow_{\beta} u$$ $$\mathrm{rec_T}\ u\ v\ (S\ n)\rightarrow_{\beta} v\ n\ (\mathrm{rec_T}\ u\ v\ n)$$

Wir wollen den gleichen Satz wie oben beweisen. Es ist verlockend, " Regeln" hinzuzufügen , um Äquivalenzen wie λ x zu beweisen . x = & bgr ; & eegr; r e c N 0 ( & lgr; k m . S m ), wobei der Ausdruck auf der rechten Seite die "dumme Identität" ist, die m Nachfolger abschält, nur um sie erneut hinzuzufügen.$\eta$

$$\lambda x.x\ =_{\beta\eta}\ \mathrm{rec_{\mathbb{N}}}\ 0\ (\lambda k\ m.S\ m)$$ $m$

Fügen wir zum Beispiel folgende Regel hinzu:

$$\frac{f\ (S\ x)\ =_{\beta\eta}\ h\ x\ (f\ x)}{f\ t\ =_{\beta\eta}\mathrm{rec_T}\ (f\ 0)\ h\ t}$$ $x$$\eta$$h$

${\cal M}$$t_{\cal M}$$T$$t_{\cal M}\ (S\ldots\ S\ 0)$$n$ $S$$1$${\cal M}$$n$$0$

${\cal M}$

$$t_{\cal M}\ = \lambda x.0$$ $\beta\eta$${\cal M}$ $$0\ =_{\beta\eta}\ S\ 0$$ $T$$t_{\cal M}=\lambda x.0$