Größere ungelöste Probleme in der theoretischen Informatik?

Wikipedia listet unter "ungelöste Probleme in der Informatik" nur zwei Probleme auf :

• P = NP?
• Die Existenz von Einwegfunktionen

Was sind andere Hauptprobleme, die zu dieser Liste hinzugefügt werden sollten?

Regeln:

1. Nur ein Problem pro Antwort
2. Geben Sie eine kurze Beschreibung und relevante Links an

Kann die Multiplikation von mit Matrizen in -Operationen durchgeführt werden?n O ( n 2$n$$n$$O(n^2)$

Der Exponent der bekanntesten oberen Schranke hat sogar ein spezielles Symbol, . Derzeit beträgt nach dem Coppersmith-Winograd-Algorithmus ungefähr 2,376 . Eine schöne Übersicht über den Stand der Technik gibt Sara Robinson, Auf dem Weg zu einem optimalen Algorithmus für die Matrixmultiplikation , SIAM News, 38 (9), 2005.$\omega$$\omega$

Update: Andrew Stothers (in seiner Arbeit von 2010 ) zeigte, dass , das von Virginia Vassilevska Williams (in einem Preprint vom Juli 2014 ) auf . Diese Grenzen wurden beide durch eine sorgfältige Analyse der grundlegenden Kupferschmied-Winograd-Technik erhalten.ω < $\omega < 2.3737$$\omega < 2.372873$

Weitere Aktualisierung (30. Januar 2014): François Le Gall hat bewiesen, dass in einem in der ISSAC 2014 veröffentlichten Artikel ( arXiv preprint ) enthalten ist.$\omega < 2.3728639$

Ist der Graph-Isomorphismus in P?

Die Komplexität des Graph Isomorphism (GI) ist seit mehreren Jahrzehnten eine offene Frage. Stephen Cook erwähnte es 1971 in seiner Arbeit über die NP-Vollständigkeit von SAT .

Das Bestimmen, ob zwei Graphen isomorph sind, kann normalerweise schnell erfolgen, beispielsweise durch Software wie nautyund saucy. Andererseits konstruierte Miyazaki Klassen von Instanzen, für die nautynachweislich exponentielle Zeit erforderlich ist.

Read und Corneil besprachen die zahlreichen Versuche, die Komplexität von GI bis zu diesem Punkt in den Griff zu bekommen : The Graph Isomorphism Disease , Journal of Graph Theory 1 , 339–363, 1977.

Es ist nicht bekannt, dass GI im co-NP vorliegt, aber es gibt ein einfaches randomisiertes Protokoll für den Graph Non-Isomorphism (GNI). Es wird daher angenommen, dass GI (= co-GNI) nahe an NP co-NP liegt.${}\cap{}$

Wenn GI hingegen NP-vollständig ist, kollabiert die Polynomialhierarchie. Daher ist es unwahrscheinlich, dass GI NP-vollständig ist. (Boppana, Håstad, Zachos, Hat co-NP kurze interaktive Beweise?, IPL 25 , 127–132, 1987)

Shiva Kintali hat in seinem Blog eine nette Diskussion über die Komplexität von GI.

Laszlo Babai hat bewiesen, dass der Graphisomorphismus in subexponentieller Zeit vorliegt .

Komplexität des Factorings

Ist Faktorisierung in ?$\mathsf{P}$

• Folgen des Factorings in P?
• Sind die Probleme PRIMES, FACTORING als P-hart bekannt?
• Was sind die Konsequenzen, wenn Factoring NP-vollständig ist?
• P mit ganzzahligem Faktorisierungsorakel
• Der Nachweis für die ganzzahlige Faktorisierung erfolgt in P (auf MO )

P = BPP?

Gibt es eine Schwenkregel für den Simplex-Algorithmus, die die Laufzeit des ungünstigsten Polynoms ergibt? Gibt es allgemein einen stark polynomialen Algorithmus für die lineare Programmierung?

Die Exponential-Zeit-Hypothese (ETH) besagt , dass das Lösen von SAT eine Exponentialzeit von 2 ^{Ω (n)} erfordert . Die ETH impliziert viele Dinge, zum Beispiel, dass SAT nicht in P ist, also impliziert die ETH P ≠ NP. Siehe Impagliazzo, Paturi, Zane, welche Probleme haben eine stark exponentielle Komplexität? JCSS 63, 512–530, 2001.

Es wird allgemein angenommen, dass die ETH schwer zu beweisen ist, da dies viele andere Trennungen von Komplexitätsklassen impliziert.

Immerman und Vardi zeigen, dass die Festkomma-Logik PTIME in der Klasse der geordneten Strukturen erfasst . Eines der größten offenen Probleme in der deskriptiven Komplexitätstheorie ist, ob die Abhängigkeit von der Ordnung beseitigt werden kann:

Gibt es eine Logik, die PTIME erfasst?

Einfach ausgedrückt ist eine PTIME-Erfassungslogik eine Programmiersprache für Diagrammprobleme, die direkt an der Diagrammstruktur arbeitet und keinen Zugriff auf die Codierung der Scheitelpunkte und Kanten hat, sodass Folgendes gilt:

1. Jedes syntaktisch korrekte Programm modelliert ein polynomiell berechenbares Graphproblem und
2. Jedes polynomiell berechenbare Graphproblem kann durch ein syntaktisch korrektes Programm modelliert werden.

Wenn es keine Logik gibt, die PTIME erfasst, wird da NP vorhanden ist, durch eine Logik zweiter Ordnung erfasst. Eine logische Erfassung von PTIME würde einen möglichen Angriff auf P vs NP darstellen.$P \neq NP$

In Liptons Blog finden Sie eine informelle Diskussion, und in M. Grohe: Die Suche nach einer logischen Erfassung von PTIME (LICS 2008) finden Sie eine technischere Übersicht.

Ist die Vermutung der einzigartigen Spiele wahr?
Und: Angesichts der Tatsache, dass es für Unique Games subexponentielle Zeitnäherungsalgorithmen gibt , wo liegt das Problem letztendlich in Bezug auf die Komplexitätslandschaft?

Permanent versus Determinante

Die Frage zwischen permanent und determinant ist aus zwei Gründen interessant. Erstens zählt die bleibende Zahl einer Matrix die Anzahl der perfekten Übereinstimmungen in einem zweigeteilten Graphen. Daher ist die bleibende Zahl einer solchen Matrix # P-Complete. Gleichzeitig ist die Definition der bleibenden Karte der der Determinante sehr ähnlich und unterscheidet sich letztendlich nur durch einen einfachen Vorzeichenwechsel. Determinantenberechnungen finden sich bekanntermaßen in P. Das Studium des Unterschieds zwischen der bleibenden und der determinierenden Zahl und die Anzahl der erforderlichen Determinantenberechnungen zur Berechnung der bleibenden Zahl sprechen für P im Vergleich zu #P.

Können wir die FFT in weniger als Zeit berechnen ?$O(n \log n)$

Aus dem gleichen (sehr) allgemeinen Grund gibt es viele Fragen zur Verbesserung der Laufzeit vieler klassischer Probleme oder Algorithmen: Können All-Pair-Shortest-Paths (APSP) in Zeit?$O(n^{3-\epsilon})$

Bearbeiten: APSP wird rechtzeitig ausgeführt ", wobei Hinzufügungen und Vergleiche von Realkosten Stückkosten sind (alle anderen Vorgänge sind jedoch typisch) logarithmische Kosten) ": http://arxiv.org/pdf/1312.6680v2.pdf$(\frac{n^3}{2^{\Omega(log n)^{1/2}}})$

Die dynamische Optimalitätsvermutung für Spreizbäume.

Oder allgemeiner: Ist ein dynamischer binärer Online-Suchbaum O (1) konkurrenzfähig?

Ein linearer zeitdeterministischer Algorithmus für das Minimum-Spanning-Tree- Problem.

NP gegen Co-NP

Die Frage NP versus co-NP ist interessant, weil NP ≠ co-NP P ≠ NP impliziert (da P unter Komplement abgeschlossen ist). Es bezieht sich auch auf "Dualität": Trennung zwischen Finden / Verifizieren von Beispielen und Finden / Verifizieren von Gegenbeispielen. Der Beweis, dass eine Frage sowohl in NP als auch in Co-NP vorliegt, ist unser erster guter Beweis dafür, dass ein Problem, das außerhalb von P zu liegen scheint, wahrscheinlich auch nicht NP-vollständig ist.

Gibt es Probleme, die von Parallelrechnern nicht effizient gelöst werden können?

Es ist nicht bekannt, dass Probleme, die P-vollständig sind, parallelisierbar sind. Zu den P-vollständigen Problemen gehören Horn-SAT und lineare Programmierung. Der Beweis, dass dies der Fall ist, erfordert jedoch die Trennung des Begriffs parallelisierbarer Probleme (wie NC oder LOGCFL) von P.

Computerprozessorkonstruktionen erhöhen die Anzahl der Verarbeitungseinheiten in der Hoffnung, dass dies zu einer verbesserten Leistung führt. Wenn grundlegende Algorithmen wie die lineare Programmierung von Natur aus nicht parallelisierbar sind, ergeben sich erhebliche Konsequenzen.

Haben alle Aussagen-Tautologien Frege-Beweise in Polynomgröße?

Das wohl größte offene Problem der Beweiskomplexität ist die Demonstration der unteren Schranken der Superpolynomgröße für Aussagenbeweise (auch Frege-Beweise genannt).

Inoffiziell ist ein Frege-Beweissystem nur ein Standardsatzbeweissystem zum Beweisen von Satztautologien (man lernt in einem grundlegenden Logikkurs) mit Axiomen und Abzugsregeln, in denen Beweislinien als Formeln geschrieben werden. Die Größe eines Frege-Proofs ist die Anzahl der Symbole, die zum Aufschreiben des Proofs erforderlich sind.

Das Problem fragt dann, ob es eine Familie von aussagekräftigen tautologischen Formeln gibt, für die es kein Polynom so dass die minimale Frege-Beweisgröße von höchstens für alle (wobei die Größe der Formel ).$(F_n)_{n=1}^\infty$$p$$F_n$$p(|F_n|)$$n=1,2,\ldots$$|F_n|$$F_n$

Formale Definition eines Frege-Proof-Systems

Definition (Frege-Regel) Eine Frege-Regel ist eine Folge von Satzformeln , für , geschrieben als . Im Fall wird die Frege-Regel als Axiomschema bezeichnet . Eine Formel wird durch die Regel von wenn alle Substitutionsinstanzen von für eine Zuordnung zu den Variablen sind (d. es gibt formeln $A_0(\overline x),\ldots,A_k(\overline x)$$k \le 0$$\frac{A_1(\overline x), \ldots,A_k(\overline x)}{A_0(\overline x)}$$k = 0$$F_0$$F_1,\ldots,F_k$$F_0,\ldots,F_k$$A_1,\ldots,A_k$$\overline x$$B_1,\ldots,B_n$ so dass für alle . Die Frege-Regel gilt als gültig, wenn eine Zuweisung die Formeln auf der oberen Seite und die Formel auf der unteren Seite erfüllt .$F_i = A_i(B_1/x_1,\ldots,B_n/x_n),$$i=0,\ldots,k$$A_1,\ldots,A_k$$A_0$

Definition (Frege-Beweis) Bei einem Satz von Frege-Regeln ist ein Frege-Beweis eine Folge von Formeln, so dass jede Proof-Linie entweder ein Axiom ist oder von einer der gegebenen Frege-Regeln aus vorherigen Proof-Linien abgeleitet wurde. Wenn die Sequenz mit der Formel endet , wird der Beweis als Beweis von . Die Größe eines Frege-Proofs ist die Gesamtgröße aller Formeln im Proof.$A$$A$

Ein Beweissystem gilt als implizit vollständig, wenn für alle Mengen von Formeln , wenn semantisch impliziert , ein Beweis für Verwendung von (möglicherweise) Axiomen aus . Ein Beweissystem gilt als solide, wenn es nur Beweise für Tautologien zulässt (wenn keine Hilfsaxiome verwendet werden, wie im obigen ).$T$$T$$F$$F$$T$$T$

Definition (Frege Proof - System) eine Aussagensprache und eine endliche Menge Gegeben von Ton Frege Regeln, wir sagen , dass ist ein Frege sicheres System , wenn implicationally abgeschlossen ist.$P$$P$$P$

Beachten Sie, dass ein Frege-Proof immer korrekt ist, da davon ausgegangen wird, dass die Frege-Regeln korrekt sind. Wir müssen nicht mit einem bestimmten Frege-Proof-System arbeiten, da ein grundlegendes Ergebnis der Beweiskomplexität besagt, dass alle zwei Frege-Proof-Systeme, auch über verschiedene Sprachen hinweg, polynomiell äquivalent sind [Reckhow, Doktorarbeit, University of Toronto, 1976].

Die Festlegung von Untergrenzen für Frege-Beweise könnte als ein Schritt zum Nachweis von , da in diesem Fall kein (einschließlich Frege) für alle Tautologien polynomiale haben kann.$NP \neq coNP$

Können wir den Editierabstand zwischen zwei Folgen der Länge in subquadratischer Zeit berechnen , dh in der Zeit für einige ?$n$$O(n^{2-\epsilon})$$\epsilon>0$

Gibt es wirklich subquadratische Zeitalgorithmen (dh Zeit für eine Konstante ) für 3SUM-schwierige Probleme ?$O(n^{2-\delta})$$\delta>0$

2014 haben Grønlund und Pettie einen deterministischen Algorithmus für 3SUM selbst beschrieben, der in der Zeit abläuft . Obwohl dies ein Hauptergebnis ist, ist die Verbesserung gegenüber nur (sub) logarithmisch. Darüber hinaus sind für die meisten anderen 3SUM-harten Probleme keine ähnlichen subquadratischen Algorithmen bekannt.O ( n 2$O(n^2/(\log n/\log \log n)^{2/3})$$O(n^2)$

BQP = P?

Auch: NP in BQP enthalten?

Ich weiß, dass dies gegen die Regeln verstößt, da zwei Fragen in der Antwort enthalten sind. In Verbindung mit der Frage P gegen NP handelt es sich jedoch nicht unbedingt um unabhängige Fragen.

1. Isomorphismus-Vermutung. (Sind alle NP-vollständigen Probleme das "gleiche" Problem?)
2. Kann Kryptographie auf einem NP-vollständigen Problem basieren?

und etwas weiter vom Mainstream entfernt:


3. Was ist die Größe von NP innerhalb von EXP?

(Informell ausgedrückt: Wenn Sie alle EXP-Probleme in einer Tabelle haben und eines nach dem Zufallsprinzip auswählen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das von Ihnen gewählte Problem auch in NP vorliegt? Diese Frage wurde durch den Begriff der ressourcenbegrenzten Maßnahme formalisiert Es ist bekannt, dass P innerhalb von EXP den Wert Null hat, dh das Problem, das Sie von der Tabelle aufgegriffen haben, ist mit ziemlicher Sicherheit nicht in P.)

Wie ist die Approximierbarkeit von metrischem TSP ? Der Christofides-Algorithmus von 1975 ist ein Polynom-Zeit (3/2) -Annäherungsalgorithmus. Ist es NP-schwer, es besser zu machen?

• Die Annäherung des metrischen TSP an einen Faktor kleiner als 220/219 ist NP-hart (Papadimitriou und Vempala, 2006 [PS] ). Meines Wissens ist dies die bekannteste Untergrenze.

• Es gibt Hinweise darauf, dass die tatsächliche Grenze 4/3 sein könnte (Carr und Vempala, 2004 [Free version] [Good version] ).

• Die Obergrenze für die Approximierbarkeit wurde kürzlich auf gesenkt (Mucha 2011 "13/9-Approximation für Grafik-TSP" [ PDF ])$13/9$

Geben Sie eine explizite Funktion mit exponentieller Schaltungskomplexität an.

Shannon hat 1949 bewiesen, dass eine zufällige Boolesche Funktion mit einer Wahrscheinlichkeit von fast eins eine exponentielle Schaltungskomplexität aufweist.

Die beste Untergrenze für eine explizite boolesche Funktion wir bisher haben, ist von K. Iwama, O. Lachish, H Morizumi und R. Raz.$f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$$5n - o(n)$

Was ist die Abfrage Komplexität des Testen Dreieck-Mahlgrad in dichten Graphen (dh Unterscheidungsdreiecksfreies Graphen von jenem -Far vom Seinem Dreieck frei)? Die bekannte obere Schranke ist ein Exponententurm in , während die bekannte untere Schranke in nur leicht überpolynomial ist . Dies ist eine ziemlich grundlegende Frage in der Extremalgraphentheorie / Additiven Kombinatorik, die seit fast 30 Jahren offen ist.1 / ≤ 1 /$\epsilon$$1/\epsilon$$1/\epsilon$

NEXP von BPP trennen. Die Leute neigen dazu, BPP = P zu glauben, aber niemand kann NEXP von BPP trennen.

Ich weiß, dass das OP nur ein Problem pro Post gestellt hat, aber die Konferenzen RTA (Rewriting Techniques and their Applications) 1 und TLCA (Typed Lambda Calculi and their Applications) führen beide Listen offener Probleme in ihren Bereichen 2 . Diese Listen sind sehr nützlich, da sie auch Hinweise auf frühere Arbeiten zur Lösung dieser Probleme enthalten.

Derandomisierung des Polynomial Identity Testing-Problems

$P$$P$

Dieses Problem kann in randomisierter Polynomzeit gelöst werden, es ist jedoch nicht bekannt, dass es in deterministischer Polynomzeit lösbar ist.

$\tau$$P$$\tau$$\tau(P)$$P$$1$$P\in\mathbb Z[x]$$z(P)$

$c$$P\in\mathbb Z[x]$$z(P)\le (1+\tau(P))^c$

Gibt es ein Quanten-PCP-Theorem?

Es gibt viele offene Probleme in Lambda-Kalkülen (typisiert und untypisiert). Weitere Informationen finden Sie in der TLCA-Liste der offenen Probleme . Es gibt auch eine schöne PDF-Version ohne Frames.

Ich mag besonders das Problem Nr. 5:

Gibt es in untypisierbare , die mit Hilfe von positiven rekursiven Typen typisierbar sind?$F_ω$

Ist das diskrete Logarithmusproblem in P?

Sei eine zyklische Gruppe der Ordnung und so dass ein Generator von . Das Problem, so zu finden, dass ist, ist als das diskrete Logarithmusproblem (DLP) bekannt. Gibt es einen (klassischen) Algorithmus zur Lösung des DLP in Worst-Case-Polynom-Zeit in der Anzahl der Bits von ?$G$$q$$g,h \in G$$g$$G$$n \in \mathbb{N}$$g^n = h$$q$

Es gibt Variationen von DLP, von denen angenommen wird, dass sie einfacher sind, aber immer noch ungelöst sind. Das rechnerische Diffie-Hellman-Problem (CDH) fragt nach wenn und . Das entscheidende Diffie-Hellman-Problem (DDH) fragt nach der Entscheidung , ob , wenn .$g^{a b}$$g, g^a$$g^b$$g, g^a, g^b, h \in G$$g^{a b} = h$

Es ist klar, dass DLP hart ist, wenn CDH hart ist, und CDH hart ist, wenn DDH hart ist, aber bis auf einige Gruppen keine umgekehrten Reduktionen bekannt sind. Die Annahme, dass DDH schwierig ist, ist der Schlüssel zur Sicherheit einiger Kryptosysteme wie ElGamal und Cramer-Shoup .

Paritätsspiele sind Zwei-Spieler-Graphenspiele mit unendlicher Dauer, deren natürliches Entscheidungsproblem in NP und Co-NP liegt und deren natürliches Suchproblem in PPAD und PLS liegt.

http://en.wikipedia.org/wiki/Parity_game

Können Paritätsspiele in Polynomialzeit gelöst werden?

(Generell ist eine lange offene Frage in der mathematischen Programmierung, ob lineare Komplementaritätsprobleme in der P-Matrix in der Polynomzeit gelöst werden können.)

Der Bereich der parametrisierten Komplexität weist eine eigene Menge offener Probleme auf.

Betrachten Sie die Entscheidungsprobleme

• Wenn ist, gibt es eine Scheitelpunktabdeckung der Größe für den Graphen ?$(G,k)$$k$$G$
• wenn ist, gibt es eine befriedigende Zuordnung des Gewichts für die Formel ?$(F,k)$$k$$F$
• Gegeben Gibt es eine Clique der Größe in einem Graphen ?$(G,k)$$k$$G$
• usw...

In dieser Form gibt es viele, VIELE, kombinatorische Probleme. Parametrisierte Komplexität betrachten einen Algorithmus als "effizient", wenn seine Laufzeit durch wobei eine beliebige Funktion und eine von unabhängige Konstante ist . Zum Vergleich sei angemerkt, dass alle diese Probleme leicht in gelöst werden können . f c k n O ( k $f(k)n^c$$f$$c$$k$$n^{O(k)}$

Dieses Framework modelliert die Fälle, in denen wir nach einer kleinen kombinatorischen Struktur suchen und uns eine exponentielle Laufzeit in Bezug auf die Größe der Lösung / des Zeugen leisten können .

Ein Problem mit einem solchen Algorithmus (z. B. Vertex Cover) heißt Fixed Parameter Tractable (FPT).

Parametrisierte Komplexität ist eine ausgereifte Theorie, die sowohl starke theoretische Grundlagen aufweist als auch für praktische Anwendungen attraktiv ist. Für eine solche Theorie interessante Entscheidungsprobleme bilden eine sehr gut strukturierte Klassenhierarchie mit natürlichen Gesamtproblemen:

Natürlich ist es offen, ob eine solche Einbeziehung streng ist oder nicht. Beachten Sie, dass bei SAT einen subexponentiellen Algorithmus hat (dies ist nicht trivial). Die letzte Aussage verbindet die oben erwähnte parametrisierte Komplexität mit der .E T $FPT=W[1]$$ETH$

Beachten Sie auch, dass die Untersuchung solcher Kollapses keine leere Aufgabe ist: Der Beweis, dass äquivalent ist, um zu beweisen, dass es einen Algorithmus mit festen Parametern gibt, mit dem man Klassen finden kann.$W[1]=FPT$$k$