Ist die Aussagenauflösung ein vollständiges Beweissystem?

Bei dieser Frage geht es um Aussagenlogik, und alle Vorkommen von "Auflösung" sollten als "Aussagenauflösung" gelesen werden.

Diese Frage ist etwas sehr Grundlegendes, aber sie hat mich eine Weile beschäftigt. Ich sehe Leute, die behaupten, dass die Auflösung der Aussagen vollständig ist, aber ich sehe auch, dass die Auflösung unvollständig ist. Ich verstehe den Sinn, in dem die Lösung unvollständig ist. Ich verstehe auch, warum die Leute behaupten, es sei vollständig, aber das Wort "vollständig" unterscheidet sich von der Art und Weise, wie "vollständig" verwendet wird, wenn man den natürlichen Abzug oder die Folgerechnung beschreibt. Selbst das Qualifikationsmerkmal "Widerlegung abgeschlossen" hilft nicht weiter, da die Formeln in CNF vorliegen müssen und die Umwandlung einer Formel in eine äquivalente CNF-Formel oder eine äquivalente CNF-Formel über die Tseitin-Transformation nicht im Beweissystem berücksichtigt wird.

Solidität und Vollständigkeit

Nehmen wir die Einstellung der klassischen Aussagenlogik mit einer Beziehung zwischen einem Universum von Strukturen und einer Reihe von Formeln und dem klassischen tarskischen Begriff der Wahrheit in einer Struktur an. Wir schreiben wenn in allen betrachteten Strukturen wahr ist. Ich werde auch ein System zum Ableiten von Formeln aus Formeln annehmen . $\models$ $\models \varphi$ $\varphi$ $\vdash$

Das System ist Ton in Bezug auf wenn , wann immer wir haben , wir haben auch . Das System ist in Bezug auf vollständig , wenn wir, wann immer wir , auch . $\vdash$ $\models$ $\vdash \varphi$ $\models \varphi$ $\vdash$ $\models$ $\models \varphi$ $\vdash \varphi$

Die Abwicklungsregel

Ein Literal ist ein atomarer Satz oder dessen Negation. Eine Klausel ist eine Disjunktion von Literalen. Eine Formel in CNF ist eine Konjunktion von Klauseln. Die Auflösungsregel behauptet das

Die Resolutionsregel besagt , daß , wenn die Verbindung der Klausel mit der Klausel erfüllbar ist, die Klausel auch erfüllbar sein muß. $C \lor p$ $\neg p \lor D$ $C \lor D$

Ich bin nicht sicher, ob die Auflösungsregel allein als Beweissystem verstanden werden kann, da es keine Regeln für die Einführung von Formeln gibt. Ich gehe davon aus, dass wir zumindest eine Hypothesenregel benötigen, die die Einführung von Klauseln ermöglicht.

Unvollständigkeit der Lösung

Es ist bekannt, dass die Auflösung ein Schallschutzsystem ist. Das heißt, wenn wir eine Klausel aus einer Formel Verwendung der Auflösung ableiten können, dann ist $C$ $F$ . Auflösung ist auch dievollständigeBedeutung derWiderlegung, wenn wir $\models F \implies C$ $\models F \implies \bot$ dann können wir mit der Auflösung von ableiten . $\bot$ $F$

Betrachten Sie die Formel

und $\varphi := p \land q$ . $\psi := p \lor q$

In Gentzens System LK oder unter Verwendung natürlicher Deduktion kann ich die Implikation ableiten vollständig innerhalb des Beweissystems. Ich kann diese Implikation nicht mit Hilfe der Auflösung ableiten, da es, wenn ich mit beginne, keineAuflösungengibt. $\varphi \implies \psi$ $\varphi$

Ich sehe, wie ich die Gültigkeit dieser Implikation anhand der Auflösung beweisen kann:

Betrachten Sie die Formel $\neg (\varphi \implies \psi)$
Verwandeln Sie die obige Formel unter Verwendung von Standardverteilungsregeln oder der Tseitin-Transformation in CNF
Derive $\bot$ mithilfe der Auflösung aus der transformierten Formel ab.

Dieser Ansatz ist für mich unbefriedigend, da ich die Schritte (1) und (2) ausführen muss, die sich außerhalb des Auflösungsprüfsystems befinden. Es scheint also ein sehr klarer Sinn zu bestehen, in dem die Auflösung nicht vollständig ist, wie wir sagen, dass natürliche Deduktionen oder sequentielle Kalküle vollständig sind.

Fragen

Angesichts all dessen lauten meine Fragen wie folgt:

Welches Beweissystem wird bei der Erörterung der Auflösung berücksichtigt? Ist es nur die Auflösungsregel? Was sind die anderen Regeln?
Mir scheint sehr klar zu sein, dass die Auflösung nicht vollständig ist, da natürliche Deduktion und sequentielle Kalküle vollständig sind. Behauptet die Literatur, dass die Lösung eine vollständige Missbrauchsterminologie ist, nur weil der Sinn, in dem die Lösung vollständig ist, interessanter ist als der Sinn, in dem sie unvollständig ist?
Wurde dieser Unterschied in Bezug auf die Vollständigkeit in Bezug auf die Entschließung und anderswo und die Frage, wie diese miteinander in Einklang gebracht werden können, in der Literatur eingehender erörtert?
Mir ist auch klar, dass die Auflösung in Bezug auf die Schnittregel in aufeinanderfolgenden Kalkülen formuliert werden kann. Ist die "richtige" beweistheoretische Sicht der Auflösung nur ein Fragment der Folgerechnung, das ausreicht, um die Erfüllbarkeit von Formeln in CNF zu überprüfen?

— Vijay D
quelle

(1) CNF-Formeln mit nur Auflösung (oder, wenn Sie QBF machen, dann QCNF-Formeln mit Auflösung & für alle-Reduzierung); (2) Ja, es ist die Widerlegung vollständig und hat immer noch eine etwas andere Bedeutung, nämlich wenn

dann

ψ ⊨ ⊥

$\psi\models\bot$

ψ ⊢ ⊥

$\psi\vdash\bot$

— Radu GRIGore

grob ähnliche Frage hier. Danke fürs Posten. Grundsätzlich wird die Auflösung für Systeme verwendet, die weit über die Logik 1. Ordnung hinausgehen, aber innerhalb der Logik 1. Ordnung ist sie "fundiert / vollständig", obwohl dies nicht immer sehr gut beschrieben ist, da sie oft nur für Widerlegungsnachweise verwendet wird. In den "größeren" Systemen, in denen Begriffe nicht nur boolesche Variablen, sondern z. B. existenzielle Qualifikationsmerkmale usw. sind, ist sie nicht vollständig. das Feld der Logik standardisiert seine Definitionen der Terminologie nicht zu gut, es gibt eine Menge "Überladung" von Begriffen usw.

— vzn

Das ist der Grund, warum manche Leute sagen, es sei " widerlegend vollständig", zB L. Bachmair und H. Ganzinger, "Resolution theorem proofing", Handbook of automatic reasoning, vol. 1, S. 19–99, 2001.

— Trylks

Die Frage diskutiert die Vollständigkeit der Widerlegung.

— Vijay D

Antworten:

Welches Beweissystem wird bei der Erörterung der Auflösung berücksichtigt? Ist es nur die Auflösungsregel? Was sind die anderen Regeln?

Ich diskutiere die Auflösung im Kontext von "Klauseln", die Sequenzen sind, die nur aus Literalen bestehen . Ein klassischer Satz würde wie folgt aussehen: Wir können ihn aber auch schreiben als

A_{1}, \dots, A_{n} \to B_{1}, \dots, B_{m}

$A_1,\ldots,A_n \to B_1,\ldots,B_m$

und arbeiten mit nur einseitigen Folgen. Es ist üblich, diese einseitigen Folgen alsMehrfachmengenvon Literalen zu behandeln.

\to {\bar{A}}_{1}, \dots, {\bar{A}}_{n}, B_{1}, \dots, B_{m}

${} \to \bar{A}_1,\ldots,\bar{A}_n, B_1, \ldots, B_m$

LK, das auf Klauseln beschränkt ist, hat nur vier Inferenzregeln:

Identität
Schnitt (vorschlagsweise Auflösung)
Kontraktion (Propositional Factoring)
Schwächung

Es ist offensichtlich, dass diese vier Regeln für die Ableitung von Klauseln vollständig sind, dh

Satz 1 Für jede Klausel und Menge von Klauseln , haben wir , wenn und nur wenn . $C$ ${\cal S}$ ${\cal S} \models C$ ${\cal S} \vdash C$

Der Widerlegungsbeweis konvertiert das Problem von in , wobei die Sammlung von Klauseln ist, die die Negation von . ${\cal S} \vdash C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$ $N(C) = \{\{\bar{A}\} \mid A \in C\}$ $C$

Es ist klar , dass , wenn und nur wenn . Unser Vier-Regeln-System reicht immer noch aus, um das konvertierte Problem zu beweisen, aber wir bemerken, dass wir keine Identität und keine Schwächung mehr brauchen. Die verbleibenden zwei Regeln werden "Auflösungsbeweisverfahren" genannt. ${\cal S} \vdash C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

Proposition 2 Für jede Klausel und Klauselmenge haben wir , wenn und nur wenn unter Verwendung nur geschnitten und Kontraktion. $C$ ${\cal S}$ ${\cal S} \models C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

Es gibt zwei Gründe, das Problem in Widerlegungsnachweise umzuwandeln:

Wir haben eine bessere Gelegenheit, die Proof-Suche zu steuern, indem wir steuern lassen. $N(C)$
Wir haben die vollständige Prädikatenlogik im Griff, deren Formeln bis zur Erfüllbarkeit in CNF umgewandelt werden können.

Ist die "richtige" beweistheoretische Sicht der Auflösung nur ein Fragment der Folgerechnung, das ausreicht, um die Erfüllbarkeit von Formeln in CNF zu überprüfen?

Tatsächlich!

— Uday Reddy
quelle

Vielen Dank, Uday. Eine Frage: Die Cut-Regel behält in der Folge noch die Klauseln aus der ursprünglichen Formelrunde bei. In der Auflösung werden diese mit nur einer Klausel in der Folge "optimiert". Würden Sie zustimmen, dass diese Lösung eine minimale oder lokale Regel ist, da alle Klauseln nicht in der Regel enthalten sind?

— Vijay D

@VijayD. Wir verwenden genau die Cut-Regel, aber anders als Gentzen. Gentzen Beweise wären von der Form

, wo es keine "Axiome" gibt, während wir in der Auflösung Beweise mit Axiomen

. VielleichtmöchtenSie sich diesesDokument ansehen.

⊢ C

${} \vdash C$

S ⊢ C

${\cal S} \vdash C$

— Uday Reddy

Können Sie Ihrer Antwort auch hinzufügen, was Ihrer Meinung nach eine einsatzige, genaue Beschreibung der Vollständigkeit der Lösung ist?

— Vijay D

@VijayD. In meiner ursprünglichen Antwort gab es zwei "wenn und nur wenn" -Aussagen, bei denen es sich um die beiden Vollständigkeitseigenschaften handelte. Aus Gründen der Klarheit habe ich sie als Vorschläge für Sie hervorgehoben. (Ich bin mir noch nicht sicher, wo Ihre Verwirrung liegt. Vielleicht hat es mit der Sprache zu tun, mit der wir arbeiten, wie Kaveh angedeutet hat?)

— Uday Reddy

@VijayD. Ich glaube nicht, dass man sagen kann, dass die Auflösung "unvollständig" ist. Alles, was Sie in Ihrer ursprünglichen Frage gesagt haben, war, dass die Transformationen, die notwendig sind, um Aussagenformeln in eine klausale Form zu bringen, für Sie "unbefriedigend" sind. Das heißt nicht, dass sie "unvollständig" sind.

— Uday Reddy

1)

Die einzige nicht-strukturelle Regel ist die Auflösung (an Atomen).

\frac{φ \lor C, ψ \lor \bar{C}}{φ \lor ψ}

$\varphi\lor C, \psi\lor \overline{C} \over \varphi\lor \psi$

Eine Regel allein liefert jedoch kein Beweissystem. Siehe Teil 3.

2)

Stellen Sie sich das so vor: Ist Gentzens Folgerechnung PK vollständig, wenn wir anstelle von eine andere Gruppe von Konnektiven verwenden? $\{\land, \lor, \lnot\}$ $\{\land, \lor, \lnot\}$

Solange es eine "nette" Übersetzung von einer Sprache in eine andere gibt, können wir über Vollständigkeit sprechen. Wesentlich ist, dass wir Formeln effizient von einer in die andere übersetzen können und umgekehrt. Sie können Robert Reckhows These nachlesen, in der er sich mit dem Thema Konnektivität befasst und zeigt, dass sich für Frege-Systeme die Länge der Beweise nicht mehr als ein Polynom ändert. Es ist also in gewissem Sinne in Ordnung, eine Reihe geeigneter Konnektiva auszuwählen , die Sie mögen.

Die Situation bei der Lösung ist ähnlich. Durch die Reduzierung von SAT auf 3SAT können wir unsere Aufmerksamkeit auf CNFs beschränken und die Transformation kann sehr effizient durchgeführt werden.

Beachten Sie, dass die Auflösung hier nicht alleine ist, sondern auch für andere Proofsysteme gilt. Nehmen wir zum Beispiel Bounded-Depth-Frege, bei der die Tiefe von Formeln durch eine Konstante begrenzt werden muss, damit per Definition keine Formelfamilien mit unbegrenzter Tiefe bewiesen werden können.

3)

$P$ $\vdash_P$

$\vdash_P$ $\varphi$ $\pi$ $\pi$ $P$ $\varphi$
$P$ $\varphi$ $\varphi$
Vollständigkeit: wenn $\varphi$ $P$ $\varphi$

Die Definition ist sehr allgemein und spricht überhaupt nicht über die Struktur des Beweises. Alles, was diese Bedingungen erfüllt, ist ein aussagekräftiges Beweissystem.

Welche Formelklasse sollten wir in diesen Artikeln berücksichtigen? Verschiedene Klassen von Formeln wurden in Betracht gezogen, und die erste Behandlung des mir bekannten Themas ist Robert Reckhows These, in der er zeigt, dass es, solange es um Frege-Systeme geht, unerheblich ist, welche angemessenen Konnektiva verwendet werden sind gleichwertig.

In Bezug auf die Auflösung kann man, wenn man wirklich Vollständigkeit in Bezug auf alle Formeln und nicht nur CNFs haben möchte, eine feste Polynomzeitübersetzung von beliebigen Formeln in CNFs problemlos in das Beweissystem integrieren, da die Übersetzung in Polynomzeit berechenbar ist.

$\pi$ $\bot$ $\lnot \varphi$

4)

Die Auflösung ist in Ordnung, aber man kann sie auch so sehen, wie Sie es erwähnt haben, dh wir können sie natürlich als Schnittregel betrachten, wenn die Schnittformel ein positives Atom ist, indem Sie die negativen Atome in die Antezedenz verschieben und das beibehalten Positive im Nachhinein:

\frac{\Rightarrow φ, C C \Rightarrow ψ}{\Rightarrow φ, ψ}

$\Rightarrow \varphi, C \hspace{1cm} C \Rightarrow \psi \over \Rightarrow \varphi, \psi$

$G$

ps: Meine Antwort ist hauptsächlich aus der Perspektive der Beweiskomplexitätstheorie. Möglicherweise möchten Sie andere Perspektiven wie die strukturelle Beweistheorie überprüfen .

Verweise:

Robert A. Reckhow, " Über die Länge der Beweise im Aussagenkalkül ", 1976.

— Kaveh
quelle

Danke für deine Antwort. Ich sehe, wie Uday ähnliche Dinge sagt, aber ich habe festgestellt, dass ich seiner Antwort leichter folgen kann.

— Vijay D

@ VijayD, sicher, kein Problem. :)

— Kaveh