Spärliche Walsh-Hadamard-Transformation

Die Walsh-Hadamard-Transformation (WHT) ist eine Verallgemeinerung der Fourier-Transformation und eine orthogonale Transformation eines Vektors mit reellen oder komplexen Zahlen der Dimension . Die Transformation ist im Quantencomputer sehr beliebt, wurde aber kürzlich als eine Art Vorkonditionierer für zufällige Projektionen hochdimensionaler Vektoren für den Beweis des Johnson-Lindenstrauss-Lemmas untersucht. Ihr Hauptmerkmal ist , dass , obwohl es ein Quadrat ist Matrix, kann es zu einem Vektor in der Zeit angewendet werden (eher als ) durch eine FFT-ähnliche Verfahren. $d = 2^m$ $d\times d$ $O(d \log d)$ $d^2$

Angenommen, der Eingabevektor ist spärlich : Er enthält nur wenige Einträge ungleich Null (z. B. ). Gibt es eine Möglichkeit, die WHT in der Zeit so zu berechnen dass und für ? $r \ll d$ $f(r,d)$ $f(d,d) = O(d \log d)$ $f(r,d) = o(d \log d)$ $r = o(d)$

Hinweis: Diese Anforderungen sind nur eine Möglichkeit, die Idee zu formalisieren, dass ich etwas möchte, das schneller als für kleine läuft . $d \log d$ $r$

ds.algorithms linear-algebra

— Suresh Venkat
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Ich bin mir sicher, dass Sie die folgenden zwei einfachen Beobachtungen kennen, aber ich werde sie trotzdem für andere Leser aufschreiben: (1) Eine einfache Multiplikation ergibt O (rd) Zeit. Es ist nur dann besser als O (d log d), wenn r = o (log d) ist. (2) Auch wenn der Eingabevektor dünn ist, ist die Ausgabe im Allgemeinen nicht dünn. Dies bedeutet, dass wir nicht hoffen können, dass f (r, d) auch für r = 1 o (d) ist.

— Tsuyoshi Ito

Wissen Sie, wie die Antwort auf dieselbe Frage für die Fourier-Transformation lautet?

— Robin Kothari

Tsuyoshi: Ja, mir ist (1) bewusst, und genau das geschieht für Anwendungen, die dies benötigen. wie für (2) ist das auch wahr. Robin, das ist ein guter Punkt - ich weiß über nichts für die FT Bescheid, und in der Tat könnte dies ein guter Ort sein, um mit dem Graben zu beginnen.

— Suresh Venkat

Es stellte sich heraus, dass ich auf Wikipedia hätte graben sollen. Auf der FFT-Seite werden zwei Artikel erwähnt, die möglicherweise mit dem Problem der spärlichen Berechnung zusammenhängen.

— Suresh Venkat

$0 \le x \lt d$ $(-1)^{\langle x,y \rangle}$

Beispiel:

d = 4.

WHT H ist

++++
+-+-
++--
+--+

Eine beliebige Anzahl von Spalten ist 00 und 10 (ganz links und zwei darüber):

++
++
+-
+-

Zeilenblöcke sind

++
++

und

--
--

$(a,b)^T$ $(a+b,0)^T$

++
+-

$(a,b)^T$ $(-a-b,0)^T$

++
+-

— Martin Strauss
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