Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiele (Ajtai-Fagin) für reguläre Sprachen.

Immerman (Descriptive Complexity, 1999) präsentiert die EF-Spiele für existenzielle monadische zweite Ordnung (Ajtai-Fagin-Spiele) auf Seite 127. Da MSO für Wörter regulären Sprachen entspricht, kann das Spiel wie folgt geschrieben werden. $\exists$

Eine Sprache ist genau dann regulär, wenn Delilah im folgenden Spiel keine Gewinnstrategie hat: 1. Samson wählt , 2. Delilah wählt , 3. Samson wählt Teilmengen der Menge von Positionen in (dh $L \subseteq \{a, b\}^*$
$c, m \in \mathbb{N}$
$w \in L$
$c$ $C_1^w, \ldots, C_c^w$ $w$ $\{0, \ldots, |w|-1\}$ ),
4. Delilah chosses und Teilmengen der Menge von Positionen in , 5. Samson und Delilah spielen das Turn-EF-Spiel auf und $v \not\in L$ $c$ $C_1^v, \ldots, C_c^v$ $v$
$m$ $(\mathfrak{S}(w), C_1^w, \ldots, C_c^w)$ , wobeidie dem WortStruktur ist, dh: mit $(\mathfrak{S}(v), C_1^v, \ldots, C_c^v)$
$\mathfrak{S}(w)$ $w$

S (w) = ⟨ {0, \dots, | w | - 1}, S U C C, Q_{a}, Q_{b} ⟩

$\mathfrak{S}(w) = \langle \{0, \ldots, |w|-1\}, SUCC, Q_a, Q_b \rangle$

und

ist das binäre Nachfolgeprädikat.

Q_{l} = {p | w_{p} = l}

$Q_l = \{p \;|\; w_p = l\}$

S U C C

$SUCC$

Ich habe zwei Fragen:
- Wie zeigt man das ist nicht regulär, wennein EF-Argument wie das folgende verwendet wird:- Ist es einfacher / schwieriger, diese Spiele zu spielen (um Nicht-Regularität zu zeigen), wenn man eine Reihenfolge hat und nicht die Nachfolgerbeziehung? (Diese sind in existenziellen MSO gleichwertig). $\{a^nb^n \;|\; n \in \mathbb{N}\}$

lo.logic automata-theory descriptive-complexity

— Michaël Cadilhac
quelle

$c$ $m$ $w = a^n b^n$ $n$ $C^w_1,\ldots,C^w_c$ $w$ $2^c$ $w'$ $w'[i,\ldots,j]$ $w'$ $r$ $t$

$0 \leq i \leq j \leq n$ $w'$
$r$ $r$ $i$ $j$ $w'$
$k \in [i,\ldots,j]$ $r$ $k$ $w'$ $r$ $t$ $w'$

v^{'} = w^{'} [0, \dots, i - 1] w^{'} [i, \dots, j]^{2} w^{'} [j + 1, \dots, 2 n - 1] .

$v' = w'[0,\ldots,i-1] w'[i,\ldots,j]^2 w'[j+1,\ldots,2n-1].$

v

$v$

a, b

${a,b}$

v^{'}

$v'$

v

$v$

L

$L$

a

$a$

m

$m$

w^{'}

$w'$

v^{'}

$v'$

r

$r$

t

$t$

c

$c$

m

$m$

$n$ $c$ $m$ $r$ $t$ $w'[i,\ldots,j]$ $r$

Dies funktionierte für Nachfolgestrukturen. Mit einer linearen Reihenfolge wird es etwas schwieriger, aber ich habe nicht viel darüber nachgedacht.

Beachten Sie, dass dieses Argument nicht überraschend dem Argument "Pumpen" in Automaten ähnelt. Es ist jedoch nicht so dumm, die Formel nur in einen Automaten zu übersetzen. Ich denke, es zählt als modelltheoretisches Argument.

— Slimton
quelle

Überzeugt Sie meine Antwort nicht?

— Slimton

Ups, tut mir leid, natürlich. Obwohl ich wirklich interessiert wäre zu sehen, was das mit einer linearen Ordnung (und damit ohne Hanfs Lokalität) wäre. Vielen Dank für diese Antwort!

— Michaël Cadilhac