Goldener Schnitt oder Pi in der Laufzeit

21

Es gibt viele Stellen, an denen die Zahlen und angezeigt werden. Ich bin gespannt auf Algorithmen, deren Laufzeit den goldenen Schnitt oder im Exponenten enthält. $\pi$ $(1+\sqrt5)/2$ $\pi$

reference-request big-list

— Stehlager
quelle

4

Gibt es einen bestimmten Rechengrund für den Verdacht, dass dies der Fall sein könnte? Und ohne zu wissen, wo es entsteht, gibt es Ihrer Meinung nach eine bestimmte Einsicht, die gewonnen werden kann, wenn dies der Fall ist?

— Niel de Beaudrap

13

Der goldene Schnitt entsteht bei der Komplexitätsanalyse von Programmen, deren rekursive Struktur der Rekursion der Fibonacci-Zahlen ähnelt : .

F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}

$F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$

— Martin Berger

11

Die Fortnow und Melkebeek Zeit / Raum - Untergrenze für SAT Lösbarkeit enthielt das goldene Verhältnis (

n^{ϕ - ϵ}

$n^{\phi - \epsilon}$ Zeit und

n^{o (1)}

$n^{o(1)}$ space); aber der Exponent wurde später von Ryan Williams verbessert.

— Marzio De Biasi

2

@MarzioDeBiasi Ich denke, dein Kommentar ist eine gute Antwort, auch wenn das Ergebnis verbessert wurde. Das Interessante ist, dass es eine Analyse gibt, die den goldenen Schnitt im Exponenten ergibt

— Sasho Nikolov

1

@NieldeBeaudrap Ich hoffe, unter den Beispielen einige Muster zu sehen. Beispielsweise kommt der Exponent e in randomisierten Algorithmen an vielen Stellen vor. Das überrascht mich nicht, da ich weiß, dass Ball-and-Bins-Aktivitäten zu Antworten führen, bei denen es um e geht. Ich habe mich gefragt, ob so etwas über Algorithmen gesagt werden kann, die in den Laufzeiten einen goldenen Schnitt haben.

— Plummer

22

Es ist eher die Basis als der Exponent, aber es ist eine FPT-Zeit eingebunden $O(\varphi^k n^2)$

" Ein effizienter Algorithmus mit fester Parameterverfolgung für die einseitige Kreuzungsminimierung ", Vida Dujmovic, Sue Whitesides, Algorithmica 40: 15–31, 2004.

Es ist auch eher eine Untergrenze als eine Obergrenze, aber:

„ Ein niedriger auf der Zeit gebunden durch ein Band einer Warteschlange oder zwei Pushdown- speichern zu simulieren $n^{1.618}$ “, Paul MB Vitányi, Inf. Proc. Lette. 21: 147–152, 1985.

Schließlich hat der Schinkensandwichbaum, eine inzwischen veraltete Datenstruktur in der Berechnungsgeometrie für Dreiecksbereichsabfragen, die Abfragezeit . Der goldene Schnitt liegt also korrekterweise im Exponenten, jedoch mit einem Protokoll und nicht als solches. Die Datenstruktur ist eine hierarchische Unterteilung der Ebene in konvexe Zellen mit der Gesamtstruktur eines Binärbaums, wobei jede Zelle und ihre Geschwister im Baum mit einem Schinken-Sandwich-Schnitt unterteilt sind. Die Abfragezeit wird durch die Wiederholung $O(n^{\log_2\varphi})\approx O(n^{0.695})$ , welches die obige Lösung hat. Es wird (mit einem langweiligeren Namen) von beschrieben $Q(n)=Q(\frac{n}{2})+Q(\frac{n}{4})+O(\log n)$

" Halfplanar im linearen Raum und Suchbereich Abfragezeit $O(n^{0.695})$ , Herbert Edelsbrunner, Emo Welzl" Inf. Proc. Lette. 23: 289–293, 1986.

— David Eppstein
quelle

1

Ich bin nicht sicher , würde ich bequem sein , zu sagen , dass

hat

im Exponenten.

n^{\log_{2} φ} = φ^{\log_{2} n}

$n^{\log_2\varphi}=\varphi^{\log_2n}$

φ

$\varphi$

— Emil Jeřábek unterstützt Monica

18

(aus meinem Kommentar oben)

Die Fortnow- und Melkebeek- Zeit / Raum-Untergrenze für die SAT-Lösbarkeit ( Zeit und Raum) enthielt den goldenen Schnitt im Exponenten; aber es wurde später von Ryan Williams verbessert . $n^{\phi - \epsilon}$ $n^{o(1)}$

— Marzio De Biasi
quelle

5

Während Ryan Williams Ihr Fortnow- und Melkebeek-Beispiel verdorben hat, hat er auch ein anderes im selben Bereich zur Verfügung gestellt: In cs.cmu.edu/~ryanw/automated-lbs.pdf zeigt er, dass es keinen Wechselhandelsnachweis für

.

c o N T I M E [n] ⊈ N T I M E S P A C E [n^{ϕ + o (1)}, n^{o (1)}]

$\mathrm{coNTIME}[n]\nsubseteq\mathrm{NTIMESPACE}[n^{\phi+o(1)},n^{o(1)}]$

— Emil Jeřábek unterstützt Monica

15

Auch in der Basis und nicht im Exponenten: Der Monien-Speckenmeyer-Algorithmus für 3-SAT hat eine Laufzeit von . Dies war die erste nicht triviale Obergrenze für 3-SAT. $\varphi^n\cdot O(n)$

— Jan Johannsen
quelle

10

Ein weiteres Beispiel für in der Basis ist ein Algorithmus von Andreas Björklund und Thore Husfeldt zur Berechnung der Parität der Anzahl gerichteter Hamilton-Zyklen, die in der Zeit abläuft . $\varphi$ $O(\varphi^n)$

http://arxiv.org/abs/1301.7250

— Tyson Williams
quelle

9

Ebenfalls in der Basis: Der Lösch-Kontraktions-Algorithmus (Zykov, 1949) zur Berechnung der Anzahl der Graphenfärbungen läuft in der Zeit . Dies ist ein sehr kanonisches Beispiel dafür, wie der goldene Schnitt aus einer Fibonacci-Wiederholung für die Laufzeit der Bewertung einer natürlichen rekursiven Formel hervorgeht. Ich bin sicher, es ist das älteste. $O(\phi^{|E|+|V|})$

Mikko Koivisto fand einen Algorithmus zur Berechnung der Anzahl perfekter Übereinstimmungen (IWPEC 2009). $O(\phi^{|V|})$

— Thore Husfeldt
quelle

8

Goldene Ration in der Basis: Ein sehr neuer FPT - Algorithmus durch Kociumaka und Pilipczuk, Faster deter Feedback Vertex Sets berechnet eine FVS der Größe in die Zeit. (Sie verbessert die dann ihren Algorithmus in der Zeit laufen $k$ $O^*\left((2 + \phi)^k\right)$ $O^*(3.592^k)$ .)

— vb le
quelle

-2

Martin Bergers Kommentar: Der alte euklidische GCD-Algorithmus läuft im ungünstigsten Fall auf zwei aufeinanderfolgenden Elementen aus der Fibonacci-Sequenz. Weitere Details auf Wikipedia, die auch besagt:

Dieser 1844 von Gabriel Lamé veröffentlichte Beweis ist der Beginn der rechnerischen Komplexitätstheorie [93] und zugleich die erste praktische Anwendung der Fibonacci-Zahlen. [91]

$O(\log(n))$

[1] Was ist die zeitliche Komplexität des Euklid-Algorithmus , math.se

— vzn
quelle

Wie ist die Zeit und die Anzahl der Schritte unterschiedlich?

— Nicholas Mancuso

Entschuldigung, das sollte # von arithmetischen Operationen lesen

— vzn

1

\log_{φ} N

$\log_{\varphi}N$

O ((\log N)^{2})

$O((\log N)^2)$ (das heißt,

O (n^{2})

$O(n^2)$ in Bezug auf die Länge der Eingabe).

— Emil Jeřábek unterstützt Monica

siehe den Link. "Lassen

T (a, b)

$T(a,b)$ ist die Anzahl der Schritte, die im euklidischen Algorithmus ausgeführt werden.

T (a, b) = O (l o g_{ϕ} b)

$T(a,b)=O(log_\phi b)$ "

— vzn

1

Ich weiß nicht, welchen der Links Sie meinen, aber ich kläre hier einfach, was „Schritt“ bedeutet, damit es Sinn macht. Beachten Sie auch das Schreiben

O (\log_{ϕ} b)

$O(\log_\phi b)$ ist sinnlos, wie Logarithmen in zwei Basen sind

O

$O$ von einander.

— Emil Jeřábek unterstützt Monica