Eine Erweiterung des Noise-Operators

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Bei einem Problem, an dem ich gerade arbeite, tritt natürlich eine Erweiterung des Lärmoperators auf, und ich war gespannt, ob es vorher Arbeiten gegeben hat. Lassen Sie mich zunächst den Basis-Rauschoperator für realwertige Boolesche Funktionen überarbeiten . Bei einer Funktion und , st , , definieren wir als $T_{\varepsilon}$ $f: \{0,1\}^n \to \mathbb{R}$ $\varepsilon$ $p$ $0 \leq \varepsilon \leq 1$ $\varepsilon = 1 - 2p$ $T_{\varepsilon} \to \mathbb{R}$ $T_{\varepsilon} f(x) = E_{y \sim \mu_p} [f(x+y)]$

$\mu_p$ ist die Verteilung auf erhalten wird, indem jedes Bit eines Bit-Vektors unabhängig mit der Wahrscheinlichkeit und ansonsten mit auf . Entsprechend können wir uns diesen Prozess so vorstellen, dass jedes Bit von mit der unabhängigen Wahrscheinlichkeit gespiegelt wird . Nun hat dieser Rauschoperator viele nützliche Eigenschaften, einschließlich multiplikativer und schöner Eigenwerte und Eigenvektoren ( wobei zur Paritätsbasis gehört). $y$ $n$ $1$ $p$ $0$ $x$ $p$ $T_{\varepsilon_1} T_{\varepsilon_2} = T_{\varepsilon_1 \varepsilon_2}$ $T_{\varepsilon}(\chi_S) = \varepsilon^{|S|} \chi_S$ $\chi_S$

Lassen Sie mich nun meine Erweiterung von , die ich als . ist gegeben durch . Aber hier unser Vertrieb ist so , dass wir die Flip Bits von bis mit Wahrscheinlichkeit und Bits von bis mit einer Wahrscheinlichkeit . ( ist jetzt eindeutig eine Verteilung, die von dem abhängt, in dem die Funktion ausgewertet wird, und wenn $T_\varepsilon$ $R_{(p_1,p_2)}$ $R_{(p_1,p_2)} \to \mathbb{R}$ $R_{(p_1,p_2)} f(x) = E_{y \sim \mu_{p,x}} [f(x+y)]$ $\mu_{p,x}$ $1$ $x$ $0$ $p_1$ $0$ $x$ $1$ $p_2$ $\mu_{p,x}$ $x$ $p_1 = p_2$ dann reduziert sich auf den 'regulären' Rauschoperator.) $R_{(p_1,p_2)}$

Ich habe mich gefragt, ob dieser Operator bereits irgendwo in der Literatur gut studiert wurde. Oder sind die grundlegenden Eigenschaften davon offensichtlich? Ich beginne gerade mit der Booleschen Analyse, daher ist dies für jemanden, der mit der Theorie besser vertraut ist als ich, möglicherweise unkompliziert. Insbesondere interessiert mich, ob die Eigenvektoren und Eigenwerte eine nette Charakterisierung haben oder ob es eine multiplikative Eigenschaft gibt. $R_{(p_1,p_2)}$

boolean-functions fourier-analysis

— Amir
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Ich werde den zweiten Teil der Frage beantworten.

I. Eigenwerte und Eigenfunktionen

Betrachten wir zunächst den eindimensionalen Fall . Es ist leicht zu überprüfen, ob der Operator zwei Eigenfunktionen hat: und mit den Eigenwerten und . $n=1$ $R_{p_1,p_2}$ $1$

ξ (x) = (p_{1} + p_{2}) x - p_{1} = {\begin{cases} - p_{1}, & if x = 0, \\ p_{2}, & if x = 1. \end{cases}

$\xi(x) = (p_1+p_2)x - p_1 = \begin{cases} -p_1, &\text{ if } x =0,\\ p_2, &\text{ if } x =1. \end{cases}$

1

$1$

1 - p_{1} - p_{2}

$1-p_1 - p_2$

Betrachten Sie nun den allgemeinen Fall. Für sei . Beachten Sie, dass eine Eigenfunktion von . Tatsächlich haben wir, da alle Variablen unabhängig sind, $S\subset \{1,\dots,n\}$ $\xi_S(x) = \prod_{i\in S} \xi(x_i)$ $\xi_S$ $R_{p_1,p_2}$ $x_i$

\begin{aligned} R_{p_{1}, p_{2}} (ξ (x)) & = R_{p_{1}, p_{2}} (\prod_{i \in S} ξ (x_{i})) = \prod_{i \in S} R_{p_{1}, p_{2}} (ξ (x_{i})) \\ = \prod_{i \in S} ((1 - p_{1} - p_{2}) ξ (x_{i})) = (1 - p_{1} - p_{2})^{| S |} ξ_{S} (x) . \end{aligned}

$\begin{align*} R_{p_1,p_2}(\xi(x)) &= R_{p_1,p_2}\left(\prod_{i\in S} \xi(x_i)\right) = \prod_{i\in S} R_{p_1,p_2}(\xi(x_i)) \\ &= \prod_{i\in S}\left((1-p_1 - p_2)\xi(x_i)\right) = (1-p_1 - p_2)^{|S|} \xi_S(x). \end{align*}$

Wir erhalten, dass eine Eigenfunktion von mit dem Eigenwert für jede . Da sich die Funktionen über den gesamten Raum erstrecken, hat keine anderen Eigenfunktionen (die keine linearen Kombinationen von ). $\xi_S(x)$ $R_{p_1,p_2}$ $(1-p_1-p_2)^{|S|}$ $S\subset \{1,\dots,n\}$ $\xi_S(x)$ $R_{p_1,p_2}$ $\xi_S(x)$

II. Multiplikative Eigenschaft

Im Allgemeinen gilt die „multiplikative Eigenschaft“ nicht für da die Eigenbasis von von und abhängt . Wir haben jedoch wobei und . Um dies zu überprüfen, stellen Sie zunächst fest, dass und dieselbe Menge von Eigenfunktionen . Wir haben seit $R_{p_1,p_2}$ $R_{p_1,p_2}$ $p_1$ $p_2$

R_{p_{1}, p_{2}}^{2} = R_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}},

$R_{p_1,p_2}^2 = R_{p_1',p_2'},$

p_{1}^{'} = 2 p_{1} - (p_{1} + p_{2}) p_{1}

$p_1' = 2p_1- (p_1+p_2)p_1$

p_{2}^{'} = 2 p_{2} - (p_{1} + p_{2}) p_{2}

$p_2' = 2p_2- (p_1+p_2)p_2$

R_{p_{1}, p_{2}}

$R_{p_1,p_2}$

R_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}}

$R_{p_1',p_2'}$

{ξ_{S}}

$\{\xi_S\}$

R_{p_{1}, p_{2}}^{2} (ξ_{S}) = (1 - p_{1} - p_{2})^{2 | S |} ξ_{S} = (1 - p_{1}^{'} - p_{2}^{'})^{| S |} ξ_{S} = R_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}} (ξ_{S})

$R_{p_1,p_2}^2(\xi_S) = (1-p_1-p_2)^{2|S|} \xi_S=(1-p_1'-p_2')^{|S|}\xi_S = R_{p_1',p_2'} (\xi_S)$

\begin{aligned} 1 - p_{1}^{'} - p_{2}^{'} & = 1 - p_{1} \cdot (2 - (p_{1} + p_{2})) - p_{2} \cdot (2 - (p_{1} + p_{2})) \\ = 1 - (p_{1} + p + 2) (2 - (p_{1} + p_{2})) \\ = 1 - 2 (p_{1} + p_{2}) + (p_{1} + p_{2})^{2} = (1 - p_{1} - p_{2})^{2} . \end{aligned}

$\begin{align*} 1-p_1'-p_2' &= 1 - p_1\cdot (2- (p_1+p_2)) - p_2\cdot (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - (p_1+p+2) (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - 2(p_1 +p_2) + (p_1 + p_2)^2 = (1-p_1-p_2)^2. \end{align*}$

III. Beziehung zum Bonami-Beckner-Operator

Stellen wir uns Funktionen von bis als polylineare Polynome vor. Es sei . Betrachten Sie den Operator Es bildet jedes multilineare Polynom auf ein multilineares Polynom . Wir haben wobei . Beachten Sie, dass sich Teile I und II aus dieser Formel und den Eigenschaften des Bonami-Beckner-Operators ergeben. $\{0,1\}^n$ ${\mathbb R}$ $\delta = \frac{1}{2}\cdot \frac{p_1-p_2}{p_1+p_2}$

A_{δ} (f) = f (x_{1} + δ, \dots, x_{n} + δ) .

$A_{\delta}(f) = f(x_1 + \delta, \dots, x_n + \delta).$

f

$f$

A [f]

$A[f]$

R_{p_{1}, p_{2}} (f) = A_{δ}^{- 1} T_{ε} A_{δ} (f),

$R_{p_1,p_2}(f) = A_{\delta}^{-1} T_{\varepsilon}A_{\delta}(f),$

ε = 1 - p_{1} - p_{2}

$\varepsilon = 1 - p_1 - p_2$

— Yury
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Yury, danke für die Antwort! Das ist ein guter Ausgangspunkt für mich, mit dem ich arbeiten kann. Ich sollte jetzt in der Lage sein herauszufinden, ob es Analoga der hyperkontraktiven Ungleichung gibt. Werde hier zurück posten, wenn ich eine interessantere Analyse bekomme.

— Amir

Dies ist sehr lange nach der Tatsache, aber ich bin gespannt, wie Sie den dritten Teil und die Beziehung zum Becker Bonami-Operator abgeleitet haben?

— Amir

(a) Es reicht aus, die Identität für und zu überprüfen . Wenn es für und , ist es leicht zu erkennen, dass es für alle Zeichen gilt. Durch die Linearität gilt es für alle Funktionen. (b) Alternativ haben und von I die gleiche Menge von Eigenwerten; Eigenvektor von „entspricht“ Eigenvektor von . Somit ist wobei A eine lineare Abbildung ist, die auf abbildet .

f = 1

$f=1$

f = x_{i}

$f=x_i$

1

$1$

x_{i}

$x_i$

T_{ε}

$T_\varepsilon$

R_{p_{1}, p_{2}}

$R_{p_1,p_2}$

\prod_{i \in S} x_{i}

$\prod_{i\in S} x_i$

T

$T$

\prod_{i \in S} ξ (x_{i})

$\prod_{i\in S} \xi(x_i)$

R

$R$

R (f) = A^{- 1} T A (f)

$R(f) = A^{-1} T A(f)$

ξ (x)

$\xi(x)$

x

$x$

— Yury

3

$R_{p_1, p_2}$ $R_{p,0}$

$R_{p,0}$ $f$ $\ell_2$ $f$ $\mu$ $p$

— Amir
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Vielleicht möchten Sie diese Antwort 'akzeptieren', damit die Frage nicht immer wieder auftaucht (Haftungsausschluss: Ich bin ein Autor des verlinkten Papiers)

— Suresh Venkat