Betrachten Sie diese Frage als gelöst. Ich werde nicht die beste Antwort auswählen, da sie alle zu meinem Verständnis des Themas beigetragen haben.
Ich bin mir nicht sicher, welchen Nutzen es hat, die Semantik der Prädikatenlogik formal zu definieren. Aber ich sehe Wert darin, eine formale Beweisrechnung zu haben. Mein Punkt ist, dass wir keine formale Semantik benötigen würden, um die Inferenzregeln von Beweiskalkülen zu rechtfertigen.
Wir könnten einen Kalkül definieren, der die "Gesetze des Denkens" nachahmt, dh die Schlußregeln, die seit Hunderten von Jahren von Mathematikern verwendet werden, um ihre Theoreme zu beweisen. Ein solcher Kalkül existiert bereits: natürlicher Abzug. Dann würden wir diesen Kalkül als solide und vollständig definieren.
Dies kann durch die Erkenntnis gerechtfertigt werden, dass die formale Semantik der Prädikatenlogik nur ein Modell ist. Die Angemessenheit des Modells kann nur intuitiv begründet werden. Indem gezeigt wird, dass natürliche Deduktion unter Bezugnahme auf die formale Semantik fundiert und vollständig ist, wird natürliche Deduktion nicht "wahrer". Genauso gut wäre es, wenn wir die Regeln der natürlichen Folgerung intuitiv direkt begründen würden. Der Umweg mit formaler Semantik bringt uns nichts.
Wenn wir dann die natürliche Folgerung als gesund und vollständig definieren, können wir die Solidität und Vollständigkeit anderer Kalküle zeigen, indem wir zeigen, dass die Beweise, die sie produzieren, in natürliche Folgerung übersetzt werden können und umgekehrt.
Sind meine obigen Überlegungen korrekt? Warum ist es wichtig, die Richtigkeit und Vollständigkeit von Beweiskalkülen anhand der formalen Semantik zu beweisen?