Follow up Was ist ein Beispiel für eine Monade, die eine Alternative ist, aber keine MonadPlus? :

Angenommen, ist eine Monade. Was sind die Beziehungen betweem ein Wesen Alternative , eine MonadPlusCatch und MonadPlusDistr ? $m$$m$Für jedes der sechs möglichen Paare hätte ich gerne entweder einen Beweis, dass eines ein anderes impliziert, oder ein Gegenbeispiel, dass dies nicht der Fall ist.

(Ich benutze

• MonadPlusCatch zur Unterscheidung eines MonadPlus , der die Left-Catch- Regel erfüllt :

  mplus (return a) b = return a
  

• MonadPlusDistr eine unterscheiden MonadPlus dass erfüllt hierbei Linksverteilungsregel:

  mplus a b >>= k = mplus (a >>= k) (b >>= k)
  

siehe MonadPlus auf HaskellWiki .)

Mein aktuelles Wissen und meine Intuition sind folgende:

1. MonadPlusDist Alternative - wahrscheinlich wahr - es scheint einfach zu sein, ich glaube, ich habe eine Skizze eines Beweises, ich werde es überprüfen und wenn es korrekt ist, werde ich es posten. AndrewC hat diesen Teil beantwortet.$\rightarrow$
2. $\rightarrow$ Maybe

3. $\rightarrow$ MaybeT (Either e)MaybeT m'

   ((pure x) <|> g) <*> a =    -- LeftCatch
       (pure x) <*> a
   -- which in general cannot be equal to
   ((pure x) <*> a) <|> (g <*> a)
   

   Ich werde nochmal nachsehen und posten. (Interessanterweise für nur Maybees ist beweisbar, weil wir analysieren können , wenn aist Just somethingoder Nothing- vgl . Die vorgenannte AndrewC Antwort)

4. $\rightarrow$ $\rightarrow$ [][]
5. $\rightarrow$ []
6. $\rightarrow$ Maybe

$\rightarrow$

$\rightarrow$

(Weil, wie Petr Pudlák betonte, []ein Gegenbeispiel ist - es erfüllt nicht MonadPlusCatch, sondern MonadPlusDist , daher Applicative )

Angenommen: MonadPlusDist-Gesetze

-- (mplus,mzero) is a monoid
mzero >>= k = mzero`                             -- left identity >>=
(a `mplus` b) >>= k  =  (a >>=k) `mplus` (b>>=k) -- left dist mplus

Um zu beweisen: Alternative Gesetze

-- ((<|>),empty) is a monoid
(f <|> g) <*> a = (f <*> a) <|> (g <*> a) -- right dist <*>
empty <*> a = empty                       -- left identity <*>
f <$> (a <|> b) = (f <$> a) <|> (f <$> b) -- left dist <$>
f <$> empty = empty                       -- empty fmap

<*>Expansions-Lemma
Angenommen, wir verwenden die Standardableitung eines Applikativs aus einer Monade, nämlich (<*>) = apund pure = return. Dann

mf <*> mx = mf >>= \f -> mx >>= \x -> return (f x)

da

mf <*> mx = ap mf mx                                  -- premise
          = liftM2 id mf mx                           -- def(ap)
          = do { f <- mf; x <- mx; return (id f x) }  -- def(liftM2)
          = mf >>= \f -> mx >>= \x -> return (id f x) -- desugaring
          = mf >>= \f -> mx >>= \x -> return (f x)    -- def(id)

<$>Erweiterungs-Lemma
Angenommen, wir verwenden die Standardableitung eines Funktors von einer Monade, nämlich (<$>) = liftM. Dann

f <$> mx = mx >>= return . f

da

f <$> mx = liftM f mx                    -- premise
         = do { x <- mx; return (f x) }  -- def(liftM)
         = mx >>= \x -> return (f x)     -- desugaring
         = mx >>= \x -> (return.f) x     -- def((.))
         = mx >>= return.f               -- eta-reduction 

Beweis

Angenommen, ( <+>, m0) erfüllen die MonadPlus-Gesetze. Trivialerweise ist es dann ein Monoid.

Right Dist <*>

Ich werde es beweisen

(mf <+> mg) <*> ma = (mf <*> ma) <+> (mg <*> ma) -- right dist <*>

weil es einfacher für die Notation ist.

(mf <+> mg) <*> ma = (mf <+> mg) >>= \forg -> mx >>= \x -> return (forg x) -- <*> expansion
                   =     (mf >>= \f_g -> mx >>= \x -> return (f_g x))
                     <+> (mg >>= \f_g -> mx >>= \x -> return (f_g x))      -- left dist mplus
                   = (mf <*> mx) <+> (mg <*> mx)                           -- <*> expansion

Linke Identität <*>

mzero <*> mx = mzero >>= \f -> mx >>= \x -> return (f x) -- <*> expansion
             = mzero                                     -- left identity >>=

nach Bedarf.

Left Dist <$>

f <$> (a <|> b) = (f <$> a) <|> (f <$> b) -- left dist <$>

f <$> (a <+> b) = (a <+> b) >>= return . f              -- <$> expansion
                = (a >>= return.f) <+> (b >>= return.f) -- left dist mplus
                = (f <$> a) <+> (f <$> b)               -- <$> expansion

empty fmap

f <$> mzero = mzero >>= return.f   -- <$> expansion
            = mzero                -- left identity >>=

nach Bedarf

$\rightarrow$

In der Tat ist es MaybeT Either:

{-# LANGUAGE FlexibleInstances #-}
import Control.Applicative
import Control.Monad
import Control.Monad.Trans.Maybe

instance (Show a, Show b) => Show (MaybeT (Either b) a) where
    showsPrec _ (MaybeT x) = shows x

main = print $
    let
        x = id :: Int -> Int
        g = MaybeT (Left "something")
        a = MaybeT (Right Nothing)
    -- print the left/right side of the left distribution law of Applicative:
    in ( ((return x) `mplus` g) `ap` a
       , ((return x) `ap` a) `mplus` (g `ap` a)
       )

Die Ausgabe ist

(Right Nothing, Left "something")

was bedeutet, dass das MaybeT EitherLinkverteilungsgesetz von Applicative.

Der Grund ist, dass

(return x `mplus` g) `ap` a

ignoriert g(aufgrund von LeftCatch ) und wertet nur zu aus

return x `ap` a

Dies unterscheidet sich jedoch von dem, was die andere Seite bewertet:

g `ap` a