Intuition hinter Beweissystemen

Ich versuche, das Papier über p-Optimal Proof-Systeme und Logik für PTIME zu verstehen . In der Zeitung gibt es einen Begriff namens Beweissysteme, und ich verstehe die Intuition nicht:

$\Sigma = \{0,1\}$ ... Wir identifizieren Probleme mit Teilmengen von in .Σ $Q$$\Sigma^*$

Ich denke, die Absicht ist, dass wir eine bestimmte Struktur in codieren (z. B. ungerichtete Graphen) und Teilmengen dieser Strukturen Probleme sind (z. B. planare Graphen).$\Sigma^*$

Ein Beweissystem für ein Problem ist eine in Polynomzeit berechenbare Surjektivfunktion P : Σ * → $Q \subset \Sigma^*$$P:\Sigma^* \to Q$

Nun besteht die Möglichkeit zu sagen, dass die Menge aller möglichen Modelle in einer bestimmten Struktur ist (z. B. alle ungerichteten Graphen). Dies ist jedoch nicht sinnvoll, da warum ungerichtete Diagramme auf eine Teilmenge abgebildet werden sollten. Es könnten verschlüsselte Maschinen sein, aber das macht auch keinen Sinn ...$\Sigma^*$

Irgendwelche Ideen?

Stellen Sie sich das eine Art von Objekten codiert, und als die Menge aller Objekte, die eine Eigenschaft erfüllen. Stellen Sie sich als eine Funktion vor, die ein Paar akzeptiert (codiert wobei ein Objekt ist und als "Beweis" für . Die Funktion ist ein "Beweisprüfer": Sie überprüft, ob tatsächlich einen gültigen Beweis dafür darstellt, dass . In diesem Fall wird , andernfalls wird ein Standardelement von .$\Sigma^{*}$$Q$$P$$(x, p)$$x$$p$$x \in Q$$P$$p$$x \in Q$$x$$Q$

Angenommen, codiert Graphen und sei die Menge (der Codierungen) von Hamilton-Graphen. Ein mögliches ist folgendes: Dekodiere die Eingabe als wobei ein Graph und eine Liste von Eckpunkten von ; Vergewissern Sie sich, dass ein Hamilton-Zyklus in . Wenn ja, geben Sie Andernfalls geben Sie den Graphen an einem Punkt zurück.$\Sigma^{*}$$Q$$P$$(G, \ell)$$G$$\ell$$G$$\ell$$G$$G$

Sie haben den Fall von planaren Graphen betrachtet. Um ein geeignetes , benötigen wir einen Begriff von mehrfach zeitlich überprüfbaren Beweisen für Planarität.$P$

Im Allgemeinen muss die Eingabe in kein Paar codieren . Wichtig ist, dass aus seiner Eingabe zwei Informationen extrahieren kann: das betreffende Objekt und den angeblichen Beweis, dass das Objekt zu . Nehmen wir zum Beispiel als die Menge aller Sätze, die in einer Theorie erster Ordnung nachweisbar sind. Jetzt dekodiert seine Eingabe als formalen Beweis. Wenn die Codierung ungültig ist, wird . Wenn die Codierung einen gültigen Beweis darstellt, gibt sie die Aussage zurück, die durch den Beweis bewiesen wurde (die wahrscheinlich die Wurzel des Beweisbaums ist, oder die letzte Formel in einer Folge von Aussagen, je nachdem, wie Sie Beweise formalisieren).$P$$(x, p)$$P$$Q$$Q$$P$$\top$

Sie sollten sich die Eingabe des Beweissystems als den Text eines Beweises eines Elements . Wenn der Text gültig ist , dass , andernfalls einige festen . Wir möchten, dass Polytime ist, da dies bedeutet, dass der Beweis leicht zu überprüfen ist.$P$$\pi$$q \in Q$$P(\pi) = q$$P(\pi)$$q_0 \in Q$$P$

Angenommen, ist die Menge der Satztautologien, und ist ein beliebiges Hilbert-artiges Beweissystem, das aus einer Reihe von Linien besteht , von denen jede entweder ein Axiom ist oder aus vorherigen Linien über eine Ableitungsregel folgt (normalerweise Modus) Ponens). Wenn der Beweis gültig ist, sollte dieses die letzte Zeile im Beweis ausgeben. Andernfalls geben Sie eine feste Tautologie wie .P P p ∨ ¬ $Q$$P$$P$$p \lor \lnot p$

Zurück zu Ihrer ersten Frage: ist eine Codierung aller Strukturen eines bestimmten Typs, die eine Eigenschaft erfüllen. Ein Beispiel sind Tautologien. Ein weiteres Beispiel ist die Menge aller nicht dreifarbigen Graphen, die ein Beweissystem haben, das als Hajós-Kalkül bekannt ist.$Q$