Maximierung einer submodularen Funktion von zwei Sätzen mit unterschiedlichen Größenbeschränkungen

Ich habe zwei völlig unterschiedliche Domänen (Äpfel und Orangen) und ich habe eine Funktion , die eine Reihe von Objekten aus der ersten Domäne und eine Reihe von Objekten aus der zweiten Domäne nimmt und eine reelle Zahl zurückgibt. $f$

hat folgende interessante Eigenschaften: $f(S,T)$

Fixierung von , es ist nicht negativ, submodular und monoton für ; $T$ $S$
Befestigungs , ist es nicht negativ ist , und monotone submodularen WRT . $S$ $T$

Ich möchte maximieren mit zwei Mächtigkeit Einschränkungen und . $f(S,T)$ $|S| = s$ $|T| = t$

Wie kann ich das machen? Wenn ich den Produktraum betrachte, ist die Funktion monoton und submodular. Somit kann ich den Standard-Greedy-Algorithmus anwenden. Der Umgang mit den beiden unterschiedlichen Größenbeschränkungen ist möglicherweise kein Problem: Wenn Sie und nacheinander hinzufügen kann ich erhöhen ohne zu erhöhen . $(a, x)$ $(a, y)$ $|T|$ $|S|$

Die Frage ist, ob die Näherung noch gilt. $1-1/e$

ds.algorithms optimization submodularity

— Francesco Bonchi
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f (\emptyset, \emptyset) = f ({s}, \emptyset) = f (\emptyset, {t}) = 0

$f(\emptyset,\emptyset)=f(\{s\},\emptyset)=f(\emptyset,\{t\})=0$

f ({s}, {t}) = 1

$f(\{s\},\{t\})=1$

Danke, guter Punkt. Vergessen wir also den zweiten Teil meiner Frage. Irgendeine Idee, wie man eine solche Funktion maximiert?

— Francesco Bonchi

$(V,E)$ $V=V_1 \uplus V_2$ $f(S,T)$ $S \subseteq V_1, T \subseteq V_2$ $S$ $T$ $f$ $f(S,\cdot)$ $f(\cdot,T)$ $a=b=k$ $k$ $k$

— Chandra Chekuri
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