ähnliche Matrizen

Bei zwei Matrizen A und B ist das Problem der Entscheidung, ob eine Permutationsmatrix P existiert, so dass B = P - 1 A P äquivalent ist (Graphisomorphismus). Aber wenn wir P entspannen , um nur eine invertierbare Matrix zu sein, was ist dann die Komplexität? Gibt es andere Einschränkungen für eine invertierbare Matrix P , abgesehen von einer Permutation, die dieses Problem oder andere schwierige Probleme betreffen ?$n \times n$$A$$B$$P$$B = P^{-1}AP$GI$P$$P$GI

Matrizen A und B, deren Elemente sich in einem Feld F befinden, sind genau dann (in F ) ähnlich, wenn sie dieselbe Frobenius-Normalform haben . Laut einer schnellen Suche scheint es, dass die Frobenius-Normalform einer n × n- Matrix mit O ( n ³ ) -Feldoperationen berechnet werden kann [Sto98] und dass dies auf etwas verbessert werden kann, das mit der Komplexität der Matrixmultiplikation vergleichbar ist [ Sto01].

[Sto98] Arne Storjohann. Ein O ( n ³ ) -Algorithmus für die Frobenius-Normalform. In Proceedings of the 1998 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC) , S. 101–105, Aug. 1998. DOI: 10.1145 / 281508.281570 .

[Sto01] Arne Storjohann. Deterministische Berechnung der Frobenius-Form. Im 42. IEEE-Symposium über Grundlagen der Informatik (FOCS) , S. 368–377, Oktober 2001. DOI: 10.1109 / SFCS.2001.959911 .

Es gibt in der Tat andere Einschränkungen für , die dieses Problem mit GI in Verbindung bringen. Wenn man zum Beispiel verlangt, dass P ein Kronecker (Tensor) -Produkt P 1 ≤ P 2 ≤ P 3 ist , dann ist das resultierende Problem so schwierig wie die Äquivalenz von dreiwertigen Tensoren, was ungefähr der Komplexität der linearen Codeäquivalenz entspricht. Dies wiederum ist bekannt dafür, dass es GI-schwer ist (es ist jedoch nicht bekannt, dass es GI äquivalent ist).$P$$P$$P_1 \otimes P_2 \otimes P_3$

Ein weiterer Gesichtspunkt Ihrer Frage, der Aufschluss über die allgemeine Situation geben könnte, lautet wie folgt. Für jede Gruppenaktion von auf einer Menge X n (eine für jedes n ) kann man nach der Komplexität der Entscheidung fragen, ob zwei gegebene Punkte x , y ∈ X n im gleichen G n -orbit liegen; Nennen wir dies das Umlaufbahnproblem für diese (Familie von) Aktion (en). Ihre Frage bezieht sich dann im Wesentlichen auf die Komplexität der Umlaufbahnprobleme, die folgendermaßen formuliert werden können: Gegeben ist eine lineare Wirkung einer Gruppe G n auf einen Vektorraum V $G_n$$X_n$$n$$x,y \in X_n$$G_n$$G_n$$V_n$Betrachten Sie das Bahnproblem der induzierten Wirkung von (durch Konjugation) auf X n = V n ⊗ ( V n ) ∗ .$G_n$$X_n = V_n \otimes (V_n)^*$

Für die Graphisomorphie gilt und V n = R n mit der natürlichen Wirkung durch Permutation von Koordinaten. Für die Matrixkonjugation haben wir G n = GL n ( F ) in seiner natürlichen Wirkung auf V n = F n . Für das obige Beispiel haben wir G n = GL a × GL b × GL c in seiner natürlichen Wirkung auf V n = F a ⊗ $G_n = S_n$$V_n = \mathbb{R}^n$$G_n = \text{GL}_n(\mathbb{F})$$V_n = \mathbb{F}^n$$G_n = \text{GL}_a \times \text{GL}_b \times \text{GL}_c$ .$V_n = \mathbb{F}^{a} \otimes \mathbb{F}^b \otimes \mathbb{F}^c$