Extensionalität von Lambda-Kalkülmodellen

Ich übersetze ein Buch über LISP und es berührt natürlich einige Elemente des Kalküls. Daher wird dort neben einigen Modellen des Kalküls ein Begriff der Extensionalität erwähnt , nämlich: und (ja, mit der Unendlichkeit oben). Und es wird gesagt, dass eine Dehnung ist, während nicht ist. $\lambda$ $\lambda$ $\mathcal{P}_\omega$ $D^\infty$ $\mathcal{P}_\omega$ $D^\infty$

Aber ... Ich habe den Lambda-Kalkül von Barendregt durchgesehen , es ist Syntax und Semantik , und (hoffentlich richtig) genau das Gegenteil gelesen: ist nicht extensional, ist. $\mathcal{P}_\omega$ $D_\infty$

Kennt jemand dieses seltsame Modell ? Könnte es genau das gleiche Modell wie , aber falsch geschrieben? Habe ich Recht mit der Erweiterbarkeit der Modelle? $D^\infty$ $D_\infty$

Vielen Dank.

— Chris
quelle

Würde es Ihnen etwas ausmachen, einen Kontext für das LISP-Buch anzugeben? Hat es Referenzen für die Ergebnisse oder die Modelle, auf die es sich bezieht?

— Cody

Ja, es ist Christian Queinnecs LISP in kleinen Stücken , p. 153. Der Auszug mit der Erwähnung: [...] Seitdem wurden die Eigenschaften auf verschiedene Weise erweitert, wodurch verschiedene Modelle entstanden:

oder

in [Sco76, Sto77]. [...] Seltsamerweise ist

eine Erweiterung, weil zwei Funktionen, die an jedem Punkt dasselbe berechnen, gleich sind, während

keine Erweiterung ist. [...] Sco76 steht für Dana Scotts ' Datentypen als Gitter . Sto77 steht für Joseph Stoys ' Denotational Semantics: The Scott-Stachey Approach to Programming Language Theory .

D^{\infty}

$D^\infty$

P_{ω}

$P_\omega$

P_{ω}

$P_\omega$

D^{\infty}

$D^\infty$

— Chris

Vielen Dank! In diesem Fall ist es wahrscheinlich, dass es einen Tippfehler gab, dass

für

und dass

nicht dehnbar ist.

D^{\infty}

$D^\infty$

D_{\infty}

$D_\infty$

P_{ω}

$P_\omega$

— Cody

Ich , dass Sie mit Extensionalität das Gesetz meinen Wenn das istwas meinen Sie dann das Diagramm Modell istnichtextensional, während Dana Scotts (I presume ist Dana Scotts Modell des Kalkül).

(\forall x . f x = g x) ⟹ f = g .

$(\forall x . f x = g x) \implies f = g.$

P ω

$\mathcal{P}\omega$

D_{\infty}

$D_\infty$

D^{\infty}

$D^\infty$

β ξ η λ

$\beta\xi\eta\lambda$

Um dies zu sehen, sei daran erinnert, dass ein algebraisches Gitter mit der Eigenschaft ist, dass sein Raum aus kontinuierlichen Karten ein geeigneter Rückzug von , dh es gibt kontinuierliche Karten und derart , daß aber $\mathcal{P}\omega$ $[\mathcal{P}\omega \to \mathcal{P}\omega]$ $\mathcal{P}\omega$

Λ : P ω \to [P ω \to P ω]

$\Lambda : \mathcal{P}\omega \to [\mathcal{P}\omega \to \mathcal{P}\omega]$

Γ : [P ω \to P ω] \to P ω

$\Gamma : [\mathcal{P}\omega \to \mathcal{P}\omega] \to \mathcal{P}\omega$

Λ \circ Γ = i d

$\Lambda \circ \Gamma = \mathrm{id}$

. Bei

wird die Anwendung

als

interpretiert. Nun nehmen Sie

und

, so dass

aber

(diese existierenweil

). Dannhaben wirfür alle

Γ \circ Λ \neq i d

$\Gamma \circ \Lambda \neq \mathrm{id}$

u, v \in P ω

$u, v \in \mathcal{P}\omega$

u v

$u v$

Λ (u) (v)

$\Lambda(u)(v)$

u

$u$

u^{'}

$u'$

u \neq u^{'}

$u \neq u'$

Λ (u) = Λ (v)

$\Lambda(u) = \Lambda(v)$

Γ \circ Λ \neq i d

$\Gamma \circ \Lambda \neq \mathrm{id}$

v

$v$

noch

. Extensionalität wird verletzt.

u v = u v^{'}

$u v = u v'$

u \neq u^{'}

$u \neq u'$

$[D_\infty \to D_\infty]$ $D_\infty$

Λ : D_{\infty} \to [D_{\infty} \to D_{\infty}]

$\Lambda : D_\infty \to [D_\infty \to D_\infty]$

Γ : [D_{\infty} \to D_{\infty}] \to D_{\infty}

$\Gamma : [D_\infty \to D_\infty] \to D_\infty$

u, u^{'} \in D_{\infty}

$u, u' \in D_\infty$

u v = u^{'} v

$u v = u' v$

v \in D_{\infty}

$v \in D_\infty$

Λ (u) (v) = Λ (u^{'}) (v)

$\Lambda(u)(v) = \Lambda(u')(v)$

v \in D_{\infty}

$v \in D_\infty$

Λ (u) = Λ (u^{'})

$\Lambda(u) = \Lambda(u')$

u = Γ (Λ (u)) = Γ (Λ (u^{'})) = u^{'}

$u = \Gamma(\Lambda(u)) = \Gamma(\Lambda(u')) = u'$

$\Gamma \circ \Lambda = \mathrm{id}$ $\Lambda \circ \Gamma = \mathrm{id}$ $\lambda$

λ X . u (X) = Γ (v \mapsto u (v))

$\lambda X. u(X) = \Gamma (v \mapsto u(v))$

u (X)

$u(X)$

X

$X$

v

$v$

u (v)

$u(v)$

λ

$\lambda$

λ X . u (X)

$\lambda X . u(X)$

Γ

$\Gamma$

Λ \circ Γ = i d

$\Lambda \circ \Gamma = \mathrm{id}$

(λ X . u (X)) w = Λ (Γ (v \mapsto u (v))) (w) = (v \mapsto u (v)) (w) = u (w)

$(\lambda X . u(X)) w = \Lambda (\Gamma (v \mapsto u(v))) (w) = (v \mapsto u(v))(w) = u(w)$

β

$\beta$

— Andrej Bauer
quelle

Vielen Dank. Dann gehe ich davon aus, dass das Buch einen sachlichen Fehler enthält. Dies kann möglich sein, da das Buch selbst eine Übersetzung aus dem Französischen ist und in diesem Absatz des Originalbuchs möglicherweise einige doppelte Negationsshenanigans oder ähnliches enthalten sind. Leider habe ich kein französisches, um es zumindest zu überprüfen.

— Chris

Französisch ist irrelevant, Sie haben den Beweis vor Augen.

— Andrej Bauer

λ

$\lambda$