Hier ist ein Beispiel , das sein könnte nahe an ein Gegenbeispiel zu der Forderung.
Betrachten Sie die LP und sein dualesfür dieMatrixP=max{1Tx|Ax≤1,x≤1,x≥0}12 × 6P′=min{1Ty+1Tz | ATy+z≥1, y≥0,z≥0}12×6
A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢101001001000011010000010000100010011000000000101010101001000100100100010⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥.
Eine optimale Lösung von ist gegeben durch y 1 = y 2 = y 12 = 1 (alle anderen Variablen sind Null) mit dem Zielfunktionswert von 3 . Die optimale Lösung für P durch den Vektor gegeben x = [ 0,5 0,5 0 1 0,5 0,5 ] T . Wenn Sie P als ganzzahliges Programm lösen , ist der optimale Zielfunktionswert nur 2 und x = [ 1 0 0 1 0P′y1=y2=y12=13Px = [ 0,5 0,5 0 1 0,5 0,5 ] TP2
ist eine optimale Lösung.x=[1 0 0 1 0 0]
Zusammenfassend ist die LP hat eine integrale optimale Lösung, aber seine Doppel, P nicht über eine integrierte optimale Lösung. Die primär-dualen Rollen sind von der von Ankur gewünschten Einstellung umgekehrt. In Anbetracht der Natur der LP-Dualität kann diese Instanz dennoch als Gegenbeispiel zur allgemeinen Aussage der ursprünglichen Behauptung angesehen werden.P′P