Ausdruckskraft von Büchi vs CTL (*)

In welchem Verhältnis steht die Ausdruckskraft von LTL , Büchi / QPTL , CTL und CTL * ?

Können Sie einige Hinweise geben, die möglichst viele dieser zeitlichen Logiken abdecken (insbesondere zwischen Linear- und Verzweigungszeit)?

Ein Venn-Diagramm mit diesen zeitlichen Logiken und einigen praktischen Eigenschaften als Beispiele wäre perfekt.

Zum Beispiel:

• Stimmt es, dass es Eigenschaften gibt, die in Büchi, aber nicht in CTL * spezifizierbar sind? Hast du ein gutes Beispiel?
• Wie wäre es mit Büchi und CTL, aber nicht mit LTL?

Einzelheiten:

Die Ausdruckskraft der Logik ist für mich relevanter als die Beispiele. Letzteres ist nur hilfreich für das Verständnis und die Motivation.

Ich kenne den Ausdruckssatz zwischen CTL * und LTL bereits von [Clarke und Draghicescu, 1988] , aber das übliche Beispiel für Fairness in CTL und nicht in LTL gefällt mir nicht, da es eine Vielzahl von Fairness-Varianten gibt, von denen einige existieren in LTL ausdrücken.

Ich mag auch nicht das übliche Beispiel für die Büchi-Eigenschaft der Gleichmäßigkeit, das zum Beispiel in [Wolper83] über die Einschränkungen von LTL angegeben ist, da das Hinzufügen einer weiteren aussagenbezogenen Variablen das Problem lösen würde ( ).$even(p) \equiv q \wedge \Box ( q \implies X \neg q ) \wedge \Box ( \neg q \implies X q ) \wedge \Box ( q \implies p )$

Ich mag das Beispiel der Büchi-Eigenschaft für Gleichmäßigkeit, das z. B. in [Wolper83] über die Einschränkungen von LTL gegeben wurde, da es einfach ist und die Notwendigkeit von PQTL für Gleichmäßigkeit zeigt (danke für den Hinweis unten).

Aktualisieren:

Ich denke, der Ausdruckssatz zwischen CTL * und LTL von [Clarke und Draghicescu, 1988] kann auf Büchi-Automaten übertragen werden, was zu folgenden Ergebnissen führt:

Let $\phi$ be a CTL* state formula. 
Then $\phi$ is expressible via Büchi automaton 
         iff $\phi$ is equivalent to $A\phi^d$.

Damit beantwortet Büchi CTL * = LTL meine obigen Fragen:$\cap$

• Stimmt es, dass es Eigenschaften gibt, die in Büchi, aber nicht in CTL * spezifizierbar sind? Yes, e.g. evenness.
• Wie wäre es mit Büchi und CTL, aber nicht mit LTL? No.

Hat jemand Clarke und Draghicescus Satz bereits auf Büchi-Automaten übertragen oder einen ähnlichen Satz formuliert? Oder ist dies zu trivial, um in einer Abhandlung erwähnt zu werden, da die Pfadquantifizierer von CTL * offensichtlich "orthogonal" zu den Kriterien für akzeptierte Pfadzustände von Büchi-Automaten sind?

Eine Sache, über die wir uns im Klaren sein müssen, ist die Art der Eigenschaft, über die wir sprechen: CTL und CTL * sind Verzweigungszeitlogiken, mit denen über Baumsprachen gesprochen wird, während LTL eine lineare Zeitlogik ist, die per se über Wörter spricht , kann aber auf Bäume angewendet werden, indem alle Zweige die Formel erfüllen müssen.

Dies gibt Ihnen bereits einen Hinweis auf einige CTL-Eigenschaften, die LTL nicht ausdrücken kann, nämlich solche, die universelle und existenzielle Pfadquantifizierer wie AGEFp mischen ("Es wird immer möglich sein, in einen p-Zustand zu gelangen"). Das übliche Beispiel in der anderen Richtung ist FGa, siehe zum Beispiel http://blob.inf.ed.ac.uk/mlcsb/files/2010/02/mlcsb7.pdf für Details (und ein Venn-Diagramm).

Bei Automaten wird es komplizierter. Sie könnten über Wort- oder Baumautomaten sprechen; In letzterem Fall ist zu beachten, dass Büchi-Automaten in diesem Fall weniger aussagekräftig sind als die anderen Annahmebedingungen (Rabin / Parität / ...). Vergleiche finden Sie beispielsweise unter http://www.cs.rice.edu/~vardi/papers/lics96r1.ps.gz (einschließlich der abgeleiteten Sprachen, bei denen es sich um die durch Wortautomaten erkennbaren Baumsprachen handelt).

Ich beantworte nicht die vollständige Frage, sondern nur einen Teil davon (ich habe kein Interesse daran, die Zeit zu verzweigen).

Ihre Definition von würde besser e v e n ( p ) ≡ ∃ q lesen . ( q ∧ ∧ ( q ↔ X ¬ q ) ∧ ◻ ( q $\mathit{even}$ . Sie führen q ein, um sich nur daran zu erinnern, ob Sie sich auf einer ungeraden oder geraden Position befinden, aber dieses$\mathit{even}(p) \equiv \exists q.(q \land \Box ( q \leftrightarrow \mathsf{X} \lnot q ) \land \Box ( q \rightarrow p ))$$q$$q$Die Informationen befinden sich nicht auf Ihrem System, daher sollte es sich nicht um eine freie Variable Ihrer Formel handeln (andernfalls sind Ihr System und Ihre Formel in verschiedenen Alphabeten definiert). Eine solche Formel ist eine existenziell quantifizierte LTL-Formel (kurz EQLTL).

$\exists$$\exists q.(q \land \Box ( q \leftrightarrow \mathsf{X} \lnot q ) \land \Box ( q \rightarrow p ))$$q \land \Box ( q \leftrightarrow \mathsf{X} \lnot q ) \land \Box ( q \rightarrow p )$$q$$\exists s_1.\exists s_2\ldots$ wenn s 1 gehen kann$\exists s_1.\exists s_2.(s_1\land\Box(s_1\rightarrow a\land \mathsf{X}s_2)\land\Box(s_2)\rightarrow b\land\mathsf{X}(s_1))\land\Box\Diamond s_2\land\Box(\bigwedge_i (s_i\rightarrow\bigwedge_{j\ne i}\neg s_j)))$$s_1$$s_2$$a$$s_2$$s_1$$b$$s_2$Stotterinvariante Sprachen, ω-Automaten und Temporallogik zu diesem Thema.

$\exists q$$q$$even$

$\exists$$\forall$

$\mathsf{EF}\mathsf{AG}p$