Master Equations und Operator Sum Form

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Ich bin eher ein Typ für Quantenoptik als ein Typ für Quanteninformation und beschäftige mich hauptsächlich mit Master-Gleichungen. Ich interessiere mich für das Operator-Summen-Formular und möchte die Fehler in diesem Formular für ein kleines Quantensystem ableiten, das ich simuliere.

Der Haken: Das Quantensystem wird durch ein externes (klassisches) Feld angetrieben, das mit einer Sinusfunktion modelliert ist, und die Dämpfungsraten sind niedrig, so dass ich keine Näherung für rotierende Wellen vornehmen kann, um diese Zeitabhängigkeit zu beseitigen. Da ich die Hauptgleichung numerisch durch Integration lösen muss und das Ergebnis jeder Integration zum Zeitpunkt nicht ausreicht, um diese Fehler herauszufinden, muss ich einige Arbeiten durchführen, um die Superoperatormatrix wiederherzustellen, die mit einer vektorisierten Dichte gearbeitet hat Matrix. dh ich füttere die Master-Gleichung mit einer vektorisierten Dichtematrix mit einer einzelnen Eingabe von 1 und der restlichen Null und baue die Matrix für eine bestimmte Zeit . Bin ich hier auf dem richtigen Weg (Sanity Check)? Genauer gesagt, wenn $t$ $\tau$ ist die vektorisierte (also ein Spaltenvektor) Form einer Dichtematrix mit einem einzelnen Eintrag von 1 in Position bei , die zur Zeit , dann eine Matrix nimm die Vektor Form der Dichtematrix von bis ist gegeben als $\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})$ $i,j$ $t=0$ $\tau$ $t=0$ $t=\tau$ . $\mathbf{M}=\sum_{i,j}\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=0})\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})^\dagger$

Die Frage: Angesichts dieses Superoperators , der tut $\mathbf{M}$ , wie kann ich KraussBetreiber für die Bediener-BetragHöhe von , das in einer nützlichen Form ist? dh es handelt sich um ein Qubit oder Qutrit und ein anderes Qubit oder Qutrit. Ich möchte in der Lage sein, die Operator-Summe, wenn möglich, in Form von Tensor-Produkten von Spin-Matrizen auf jedem Kanal zu berechnen. $\mathbf{M}\,\mathrm{vec}(\rho_0)=\mathrm{vec}(\rho_\tau)$ $\mathbf{M}$

Nebenfrage: Ist eine Choi-Matrix? $\mathbf{M}$

Schlussbemerkung: Ich habe Pinja die Annahme zuerkannt, da ich das von Pinja vorgeschlagene Papier verwendet habe. Ich habe selbst eine Antwort gegeben, die die Details ausfüllt.

quantum-information

— qubyte
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Was meinst du mit "fragliches System ist ein Qubit oder ein Qutrit und ein anderes Qubit oder ein Qutrit." - Was ist das "andere System"? Sprechen Sie über die Ancilla, die für die Implementierung dieses Kanals mit Unitaries + Tracing-Out erforderlich ist? Beachten Sie in diesem Fall, dass die Dimension der Ancilla bis zu D ^ 2 betragen kann, sodass Qubits nicht ausreichen.

— Norbert Schuch

Nein, im Moment ist es nur ein Spielzeugmodell, das aus zwei kleinen Quantensystemen besteht, die gekoppelt sind und unterschiedliche T1- und T2-Zeiten haben. Die Antwort auf diese Frage gibt keinen Anlass zu ernster Besorgnis. Es ist eher ein Punkt von Interesse, da es hilfreich sein könnte, in Zukunft mehr darüber zu erfahren, wie dies getan werden kann.

— Qubyte

Kann ich diese Frage bitte auf CS-Theorie anstatt auf Physik migrieren lassen?

— Qubyte

Naja ... ich denke das wäre hier in Ordnung gewesen, aber okay.

— David Z

Vielen Dank. Es tut uns leid, aber ich bin kein großer Fan von Physics.SE, und trotzdem denke ich, dass forschungsorientierte QI-Fragen hier besser passen (nachdem ich überzeugt war).

— Qubyte

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Ich habe in meiner Masterarbeit an einem sehr ähnlichen Problem gearbeitet, in dem ich die nicht-markovsche Dynamik eines getriebenen Qubits in einer dissipativen Umgebung untersucht habe. Mein Interesse war es zu überprüfen, ob die von mir erhaltene Master-Gleichung vollständig positiv ist, aber dies ist nur eine Seite Ihres Problems. Die Frage stellte sich als sehr nicht trivial heraus, wenn keine RWA erstellt wurde, aber ich konnte mit Ref einige Ergebnisse erzielen. [ J Mod. Opt. 54, 1695 (2007) ] und die Tatsache ausnutzen, dass das Qubit schwach an die Umgebung gekoppelt ist. Ich werde meine Trommel schlagen und auch die Ref geben. zu einem Artikel, in dem ich einige dieser Ergebnisse präsentiere, [P. Haikka und S. Maniscalco, Phys. Rev. A 81, 052103 (2010)] , finden Sie es möglicherweise nützlich.

Ah! Es stellt sich heraus, dass ich mir jetzt seit ein paar Tagen die Andersson-Zeitung ansehe. Es scheint sehr vielversprechend und gibt das konkreteste Rezept. Ich mag es, eine Methode zu haben, um Probleme zu lösen. Um ehrlich zu sein, muss ich ein wenig Zeit finden, um mich wirklich hinzusetzen und mir das anzuschauen. Es ist im Moment eher ein persönliches Projekt.

— Qubyte

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Die als Antwort auf die Quantenmechanik als Markov-Prozess gegebenen Referenzen - insbesondere die Online-Notizen von Carlton Caves " Vollständig positive Karten, positive Karten und das Lindblad-Formular " - enthalten physikalische Ideen und mathematische Werkzeuge, die bei der Beantwortung der Frage hilfreich sind.

Ein wichtiger Punkt ist mit der spezifischen Frage verbunden, die gestellt wird: "Wie kann ich Kraus-Operatoren für das Operator-Summen-Äquivalent von , die in einer nützlichen Form vorliegen?" Für große Quantensysteme, ein generischer Superoperator wird nicht eine algorithmisch komprimierbaren Form hat. Darüber hinaus sind Kraus-Darstellungen nicht eindeutig, und meines Wissens nach gibt es kein allgemeines und effizientes Verfahren, um Kraus-Darstellungen eines bestimmten , die eine "nützliche Form" haben (nach welchen Kriterien auch immer) sind für ein Formular angegeben, das "nützlich" ist). Diese entscheidende Quantentrennbarkeit ist NP-schwer, was darauf hindeutet, dass kein effizienter allgemeiner Algorithmus zur Repräsentationsfindung existiert, selbst wenn $M$ $M$ $M$ $M$ ist in seiner Gesamtheit numerisch angegeben.

Um Fortschritte zu erzielen, kann es hilfreich sein, heuristische Fragen zu stellen: "Was ist das Besondere an meinem Superoperator? Kann ich eine Reihe von Lindbladian-Generatoren dafür ausstellen, die nützliche Symmetrieeigenschaften haben und / oder kompatible Druckflüsse auf dem Hilbert-Zustandsraum erzeugen ? Sind diese Lindbladian-Eigenschaften mit einer natürlichen Hilbert-Basis verbunden, in der eine spärliche, faktorisierte oder anderweitig algorithmisch komprimierbare Darstellung hat? " $M$

Wenn Fragen wie diese durch "Drehen einer algorithmischen Kurbel" effizient beantwortet werden könnten, wäre die Quantenphysik ein weitaus weniger interessantes Thema! :)

— John Sidles
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Dies ist so ziemlich das, was ich gehofft hatte, was nicht der Fall war, aber ich dachte es wäre. Leider weist das System nur dann eine ausnutzbare Symmetrie auf, wenn nur dephasiert wird, ohne dass die Bevölkerung entvölkert wird. Es gibt eine sehr ansprechende Form der Lindblad-Meistergleichung, die Terme, die nicht von Krauss stammen, zu einem nicht-hermitischen Hamiltoninan zusammenfasst. Für den Fall, dass das Hamilton keine Zeitabhängigkeit aufweist, kann eine Basis gewählt werden, die natürlich den Zerfall ausdrückt wie die übrigen Krauss-Begriffe. Ordentlich, aber keine Hilfe für mich.

— Qubyte

Eine der Referenzen in Caves 'Notizen ist Wolf and Cirac Dividing Quantum Channels (arXiv: math-ph / 0611057), die ich ohne die geringste Garantie empfehle, die (vielen und subtilen) quanteninformatischen Probleme, die in diesem Artikel behandelt werden, persönlich erfasst zu haben! :)

Schön, das schaue ich mir an. Eine interessante Sache, die ich möglicherweise über die nicht angetriebene Version des obigen Systems hätte bemerken müssen, ist, dass die Zeitunabhängigkeit bedeutet, dass Sie

direkt mit Matrixexponentiation finden können (nicht effizient, aber dieses System ist klein genug). Sie können auch konstruieren

M

$\mathbf{M}$

mit einigen erratenen Krauss-Operatoren, und ein paar Gleichungen später ergeben die Zuordnung zwischen den beiden, wodurch die Fehlerraten auf den verschiedenen Kanälen extrahiert werden können.

M

$\mathbf{M}$

— Qubyte

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Ich denke, was Sie vielleicht suchen, ist Folgendes: Die Real Density Matrix . Es gibt Ihnen ein Rezept für die Konvertierung zwischen verschiedenen Superoperator-Darstellungen (einschließlich der Verwendung einer Tensorproduktbasis von Paulis). Ein detailliertes Experiment zur Quantenprozess-Tomographie unter Verwendung der Ergebnisse finden Sie hier: Quantenprozess-Tomographie der Quanten-Fourier-Transformation . Ganz allgemein hat Havel hier auch Algorithmen abgeleitet, um in minimale Kraus-Darstellungen umzuwandeln: Verfahren zum Umwandeln zwischen Lindblad-, Kraus- und Matrix-Darstellungen von quantendynamischen Halbgruppen .

${\rm vec}(\rho)$ $\rho$ ${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|i\rangle\otimes|j\rangle$ ${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|j\rangle\otimes|i\rangle$ ${\rm col}(\rho)$ ${\rm \bf M}^{\rm row}{\rm vec}(\rho_0)={\rm vec}(\rho_t)$ ${\rm \bf M}^{\rm col}{\rm col}(\rho_0)={\rm col}(\rho_t)$

C = \sum_{i, j} (1 \otimes | i ⟩ ⟨ j |) M^{r o w} (| i ⟩ ⟨ j | \otimes 1),

${\rm\bf C} = \sum_{i,j} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|) {\rm \bf M}^{\rm row} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}),$

C = \sum_{i, j} (| i ⟩ ⟨ j | \otimes 1) M^{c o l} (1 \otimes | i ⟩ ⟨ j |) .

${\rm\bf C} = \sum_{i,j} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}) {\rm \bf M}^{\rm col} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|).$

{| i ⟩ ⟨ j | \otimes | k ⟩ ⟨ l |}

$\{|i\rangle\langle j|\otimes |k\rangle\langle l|\}$

— Chris Ferrie
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Das ist interessant, es könnte genau das sein, wonach ich suche ...

— Qubyte

Ich habe gerade Ihren Zusatz gesehen. Danke, das ist sehr nützlich. Ich habe ursprünglich deine Version von vec genommen, aber jetzt verwende ich die gestapelten Spalten. Danke Wikipedia dafür. Vielleicht sollte ich Ihre Notation zur Klarheit übernehmen.

— Qubyte

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Wie Pinja bemerkte, wurde in einem Aufsatz von Andersson et al. ( arXiv ) ( DOI ) war besonders nützlich. Das Papier geht sehr ins Detail, und ich habe mich heute endlich hingesetzt, um es mir genauer anzusehen. Als Beispiel für ein Problem habe ich zwei Qubits mit einer Austauschinteraktion ausgewählt, um dies zu überprüfen. Dies ist eine minimale Version dessen, was ich in Betracht ziehe. Zunächst ist die Hauptgleichung gegeben durch

\dot{ρ} = Λ (ρ) .

$\dot\rho = \Lambda(\rho).$

Das Verfahren erfordert, dass Basisoperatoren des Systems ausgewählt werden. Es ist zweckmäßig, diese in Form der Pauli-Matrizen für zwei Qubits anzugeben, aber für einen Qutrit würde man die Gell-Mann-Matrizen verwenden. Definieren $\sigma_i = \mathbf{1},\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$ Dieses System hat für jedes Qubit eine Basis aufgebaut aus deren Tensorprodukten mit einem Faktor von $1/2$ zur Normalisierung ergeben sich 16 Operatoren $G_i$ z.B $G_5 = G_{xx} = (\sigma_x\otimes\sigma_x)/2$ . Sticking with Hermitian operators keeps things neat as well, since some daggers can be neglected.

A special matrix is now composed called $L$ , which is related to the master equation.

L_{n, m} = T r [G_{n} Λ (G_{m})] .

$L_{n,m} = \mathrm{Tr}[G_n\Lambda(G_m)].$

If we are dealing with the master equation as a matrix acting on a vectorised density operator as discussed in the question, then this can be expressed as

L_{n, m} = v e c (G_{n})^{†} Λ v e c (G_{m}),

$L_{n,m} = \mathrm{vec}(G_n)^\dagger\,\Lambda\,\mathrm{vec}(G_m),$

which allows L to be derived in a single matrix equation, but that's getting a little off topic.

In the sample case I considered, $L$ is does not contain time varying terms, so it may be exponentiated to get a new matrix $F$ , which is related to the solution of the master equation $\phi$

F (t) = \exp (L t) .

$F(t) = \exp(Lt).$

$F$ can be used to get a Choi matrix $S$ , which is exactly what I need. At this point, a basis needs to be chosen for the future Krauss operators. I'm quite happy with the Pauli operators so I'll stick with those for this next equation,

S_{a, b} = \sum_{n, m} F_{m, n} T r [G_{n} G_{a} G_{s} G_{b}] .

$S_{a,b} = \sum_{n,m}F_{m,n}\mathrm{Tr}[G_nG_aG_sG_b].$

Finally, the wonderful part.

ρ_{t} = ϕ_{n, m} (ρ_{0}, t) = S_{n, m} (t) G_{n} ρ_{0} G_{m}^{†}

$\rho_t=\phi_{n,m}(\rho_0,t) = S_{n,m}(t)G_n\rho_0 G_m^\dagger$

As you can see, $S$ is a matrix of weights for a sum of superoperators in a useful basis that I can select. This has been referred to as the process matrix (arXiv)(DOI) which is unique to a process in a given basis. In the sample case, in which the master equation has no time dependent terms on the RHS, the solution can be directly verified by representing $\Lambda$ in matrix form and exponentiating it to get $\phi(t)=\exp(\Lambda t)$ .

This works in the time independent case for quits and qutrits as expected. I need to check that this works in the case of time dependence.

— qubyte
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