Bei Ihrer ersten Frage ohne die Gesamtreihenfolge lautet die Antwort auf Ihre Frage, dass sie im Wesentlichen so schwierig ist wie die lineare Programmierung. Hier ist ein Überblick über einen Beweis.
wir zunächst eine Variable , die wir . Wählen wir nun eine andere Variable , die wir nennen werden . Wir wollen sicherstellen, dass
Berücksichtigen Sie dazu die Ungleichungen
usw. Bei einer ausreichend langen Kette wird dies uns sagen, dass oder für einige sehr große ( ist eine Fibonacci-Zahl und wächst daher exponentiell in ).x1>0ϵxi1
ϵ≪1.
x1<x2,
x1+x2<x3,
x2+x3<x4,
Nx1<xiϵ<1/NNNi
Wir können jetzt ein lineares Programm mit ganzzahligen Koeffizienten erstellen. Wenn wir einen Koeffizienten von 3 für , addieren wir die Ungleichungen
und lassen stehen in für 3 . Wenn Sie größere Koeffizienten wünschen, können Sie diese erhalten, indem Sie die Koeffizienten in binärer Notation ausdrücken und Ungleichungen , die garantieren, dass , usw. Um die rechte Seite zu erhalten, machen wir dasselbe mit der Variablenxt
xt<xt′<xt′′<xt+ϵ
xt+xt′+xt′′xtxu≈2xtxv≈2xuxi=1. Mit dieser Technik können wir lineare Programme der OP-Form verwenden, um die Machbarkeit für beliebige lineare Programme mit ganzzahligen Koeffizienten ungefähr zu überprüfen, eine Aufgabe, die im Wesentlichen so schwierig ist wie die lineare Programmierung.
Ich weiß nicht, wie ich die zweite Frage analysieren soll, wenn ich nach dem Fall frage, in dem es eine Gesamtreihenfolge für alle Teilmengen gibt.