Berechnen der minimalen NFA für eine DFA

Vor vielen Jahren hörte ich, dass die Berechnung des minimalen NFA (nicht deterministischer endlicher Automat) aus einem DFA (deterministisch) eine offene Frage war, im Gegensatz zu der seit Jahrzehnten bekannten und mit einem effizienten gut erforschten umgekehrten Richtung Algorithmus. Hat sich jemand einen Algorithmus ausgedacht? $O(n \lg n)$

Eine schnelle Suche hat mir dieses Papier gegeben, das beweist, dass es definitiv ein hartes Problem ist. Anscheinend ist kein Algorithmus angegeben.

[1] Minimale NFA-Probleme sind schwer / Tao Jiang und B. Ravikumar

An dieses Problem wurde ich durch die folgende Frage auf der CS.SE-Site erinnert, für die ein DFA-> NFA-Minimierungsalgorithmus eng verwandt wäre. Diese folgende Frage scheint mir Forschungsniveau zu sein. Ich schlug vor, es auf TCS zu migrieren, und schrieb eine Antwort, die einen statistischen / empirischen Angriff vorschlug.

[2] Unter welchen Bedingungen darf eine NFA maximal so groß sein wie eine entsprechende DFA?

— vzn
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Das von Ihnen zitierte Papier zeigt die PSPACE-Vollständigkeit. Insbesondere liegt das Problem bei PSPACE, das sofort einen Algorithmus vorschlägt. Welche Art von Algorithmen suchen Sie? Praktische und / oder heuristische? Bekannteste Grenzen des Exponenten der Laufzeit? Etwas anderes?

— Joshua Grochow

Das ist eigentlich gar nicht so ungewöhnlich. Bevor bekannt wurde, dass das Problem PSPACE-vollständig ist, scheiterten alle Versuche, effiziente Algorithmen zu entwickeln, so dass nur wenig veröffentlicht wurde. Nachdem bekannt war, dass das Problem PSPACE-vollständig ist, hat niemand versucht, effiziente Algorithmen zu entwickeln, weil er wusste, dass sie versagen würden, und deshalb wurde noch weniger veröffentlicht.

— Jeffs

(1) Was bedeutet "Umgekehrt Richtung, die seit Jahrzehnten bekannt und mit einem effizienten O (n lg n) -Algorithmus gut erforscht ist"? Der minimale DFA für einen NFA mit n Zuständen kann eine Exponentialgröße in n haben, so dass eine nichttriviale Ausgabecodierung erforderlich wäre. (2) Für eine bestimmte reguläre Sprache gibt es keine "minimale" NFA. Vergleichen Sie dies mit der Existenz des minimalen DFA.

— Tsuyoshi Ito

JEFFE Sie haben ein gutes Argument, aber ich bin mir sicher, dass es viele Pspace-Komplettprobleme gibt, die immer noch ausgefeilte Algorithmen haben, die die Problemstruktur ausnutzen und nicht nur alle möglichen Lösungen aufzählen, oder? gebe zu, ich kann mir nichts aus dem Kopf denken. vielleicht können Sie? denke, das wäre eine weitere interessante Frage, die hier gestellt werden sollte.

— VZN

a^{+}

$a^+$

Dies ist wirklich ein hartnäckiges und gut untersuchtes Problem. In Bezug auf positive Ergebnisse wurde ein exakter Algorithmus von Kameda und Weiner, ein heuristischer Ansatz von Polák und ein neuerer Ansatz unter Verwendung von SAT-Lösern von Geldenhuys et al. in den Sinn kommen. Es scheint jedoch weitaus negativere Ergebnisse zu geben, die andere mögliche Ansätze ausschließen (z. B. Approximationsalgorithmen, Sonderfälle, weniger leistungsfähige Modelle von NFAs, ...). Einige Referenzen finden Sie weiter unten.

T. Kameda und P. Weiner. Zur Zustandsminimierung nichtdeterministischer endlicher Automaten. IEEE Transactions on Computers, C-19 (7): 617–627, 1970.

A. Malcher. Die Minimierung endlicher Automaten ist rechnerisch schwierig. Theoretical Computer Science 327: 375 & ndash; 390, 2004.

L. Polák. Minimierungen von NFA mit dem Universalautomaten. International Journal of Foundations of Computer Science, 16 (5): 999–1010, 2005.

G. Gramlich und G. Schnitger. Minimierung von NFAs und regulären Ausdrücken. Symposium zu theoretischen Aspekten der Informatik (STACS 2005), LNCS 3404, S. 399–411.

H. Gruber und M. Holzer. Inapproximierbarkeit des nichtdeterministischen Zustands und der Übergangskomplexität unter der Annahme von P NP. Entwicklungen in der Sprachtheorie (DLT 2007), LNCS 4588, S. 205–216.

H. Gruber und M. Holzer. Rechenkomplexität der NFA-Minimierung für endliche und unäre Sprachen. Sprach- und Automatentheorie und -anwendungen (LATA 2007), S. 261–272.

H. Björklund und W. Martens. Die Grenze der Rückverfolgbarkeit für die Minimierung von NFA. Internationales Kolloquium für Automaten, Sprachen und Programmierung (ICALP 2008), LNCS 5126, S. 27–38.

J. Geldenhuys, B. van der Merwe, L. van Zijl: Reduzieren nichtdeterministischer endlicher Automaten mit SAT-Solvern. Finite-State-Methoden und Verarbeitung natürlicher Sprache (FSMNLP 2009), LNCS 6062, 81–92.

BEARBEITEN (8. Juni 2015)

Update: In der folgenden Arbeit wird ein heuristischer Algorithmus zum Verringern der Größe nicht deterministischer Büchi-Automaten vorgestellt. Außerdem werden Experimente mit zufälligen Automaten durchgeführt. Wie sie in der Schlussfolgerung festhalten, gilt ihre Methode auch für NFAs: "Während wir unsere Methoden im Kontext von Büchi-Automaten präsentierten, übertragen sie die meisten trivial auf den einfacheren Fall von Automaten über endliche Wörter."

Richard Mayr, Lorenzo Clemente. Erweiterte Automatenminimierung. POPL 2013. Erweiterter technischer Bericht EDI-INF-RR-1414.

Ihr Kommandozeilen-Tool Reduce v1.2 kann mit der Option "-finite" zum Reduzieren einer bestimmten NFA aufgerufen werden. Die Implementierung ist Open Source und steht unter der GNU General Public License.

— Hermann Gruber
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Wissen Sie, ob es Open-Source-Implementierungen gibt, bei denen diese Probleme auftreten?

— Jmite

Hallo Hermann, vielen Dank für alle Infos! Ich weiß, dass es angesichts einer NFA schwierig ist, die kleinste äquivalente NFA zu finden. Aber wie sieht es mit Folgendem aus: Bestimmen Sie bei gegebenem DFA die kleinste äquivalente NFA. Ist das schwer Wie hart?

— Michael Wehar

Entschuldigung, ich sehe jetzt! Das erste aufgelistete Papier befasst sich mit folgendem Thema : springerlink.com/content/y61724u571v487x5 Außerdem befasst sich ein anderes von Ihnen aufgeführtes Papier mit diesem Thema für endliche reguläre Sprachen: hermann-gruber.com/data/lata07-final.pdf Vielen Dank, dass Sie dies für mich geklärt haben! :)

— Michael Wehar