Berechnung der inversen Matrix, wenn sich ein Element ändert

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Ein gegebener - Matrix . Die inverse Matrix von sei (dh ). Angenommen, ein Element in wird geändert (sagen wir bis ). Ziel ist es, nach dieser Änderung zu finden . Gibt es eine Methode, um dieses Ziel zu finden, die effizienter ist als die Neuberechnung der inversen Matrix von Grund auf. $n \times n$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}^{-1}$ $\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}$ $\mathbf{A}$ $a _{ij}$ $a' _{ij}$ $\mathbf{A}^{-1}$

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— AJed
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Gute Antworten: Ich habe das folgende Papier gefunden, das genau dieses Problem angeht: Sankowski, Piotr. "Dynamisches transitives Schließen über dynamische Matrixumkehrung." Grundlagen der Informatik, 2004. Verfahren. 45. jährliches IEEE-Symposium am. IEEE, 2004.

— AJed

Wenn das Papier auf irgendeine Weise auf Ihr Problem antwortet oder es anspricht, können Sie eine Antwort hinzufügen! :) Schließlich können Kommentare jederzeit gelöscht werden.

— Juho

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Die Sherman-Morrison-Formel könnte helfen:

(A + u v^{T})^{- 1} = A^{- 1} - \frac{A^{- 1} u v^{T} A^{- 1}}{1 + v^{T} A^{- 1} u} .

$(A + uv^T)^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1} uv^T A^{-1}}{1 + v^T A^{-1} u}.$

Sei und , wobei der Standard-Basisspaltenvektor ist. Sie können überprüfen, ob die aktualisierte Matrix ist dann ist $u = (a'_{ij}-a_{ij}) e_i$ $v = e_j$ $e_i$ $A'$

A^{' - 1} = A^{- 1} - \frac{(a_{i j}^{'} - a_{i j}) A_{i \to}^{- 1} A_{↓ j}^{- 1 T}}{1 + (a_{i j}^{'} - a_{i j}) A_{i j}^{- 1}} .

$A^{\prime -1} = A^{-1} - \frac{(a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{i\rightarrow} A^{-1T}_{\downarrow j}}{1 + (a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{ij}}.$

— Yuval Filmus
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$A$ $A^{-1}$

$\delta = a_{ij}' - a_{ij}$ $a_{ij}$ $e_i$ $i$

(A + e_{i} δ e_{j}^{⊤}) A^{- 1} = I + e_{i} δ e_{j}^{⊤} A^{- 1}

$(A + e_i \delta e_j^\top )A^{-1} = I + e_i \delta e_j^\top A^{-1}$

$e_i \delta e_j^\top$ $\delta$ $ij$ $A^{-1}$ $A^{-1}$

A^{- 1} (A + e_{i} δ e_{j}^{⊤}) = I + A^{- 1} e_{i} δ e_{j}^{⊤}

$A^{-1}(A + e_i \delta e_j^\top ) = I + A^{-1}e_i \delta e_j^\top$

$A^{-1}$

— Adam W
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Schöne Antwort, aber wie unterscheidet sich das von dem vorherigen von Yuval?

— AJed

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A^{- 1}

$A^{-1}$