Kontextfreie Grammatik für {a ^ ib ^ j | i, j ≥ 0; i ≠ 2j}

Kann mir jemand dabei helfen:

$L=\{a^ib^j \mid i,j \ge 0 \text{ and } i \ne 2j\}$

Ich versuche eine Grammatik für diese Sprache zu schreiben? Ich weiß nicht, wie ich das machen soll. Ich habe es versucht:
$S \rightarrow aaAb \mid aA \\ A \rightarrow aA \mid a$

Betrachten Sie die beiden Sprachen:
$L_1 = \{a^ib^j \mid i, j \ge 0 \text{ and } i > 2j\}$
$L_2 = \{a^ib^j \mid i, j \ge 0 \text{ and } i < 2j\}$

Überzeugen Sie sich davon $L = L_1 \cup L_2$.

Im $L_1$, die Anzahl der $a$sind mehr als doppelt so hoch$b$Es muss also mindestens einen geben $a$ (wenn es keine gibt $b$'s). Auch für jede Zugabe von$b$, mindestens 2 $a$muss hinzugefügt werden. Sie können generieren$L_1$ wie:

$S_1 \rightarrow aA \\ A \rightarrow aaAb \mid aA \mid \varepsilon$

$L_2$ist etwas kniffliger. Die Anzahl der$a$sind weniger als doppelt so viele wie $b$'s, so kann es sein $0$ $a$'s, aber nicht Null $b$'s. Betrachten Sie den "Basisfall" von$1$ $b$. Die Zeichenfolge kann entweder sein$b$ oder $ab$. Wir lassen die erste Regel diesen Basisfall generieren. Beachten Sie danach, dass für jede Hinzufügung von$b$können wir die Anzahl erhöhen $a$ist höchstens vorbei $2$. Also können wir hinzufügen$0$, $1$, oder $2$ $a$'s für jede Hinzufügung von $b$. Wir lassen die zweite Regel damit umgehen. Also die CFG für$L_2$ wird:

$S_2 \rightarrow Bb \mid aBb \\ B \rightarrow Bb \mid aBb \mid aaBb \mid \varepsilon$

Beachten Sie, dass CFGs unter Vereinigung geschlossen sind, dh die Vereinigung von zwei CFGs ist ebenfalls eine CFG. Also, um die CFG für zu bekommen$L$Lassen Sie den Startzustand $S$ von $L$ führen entweder zum Ausgangszustand von $L_1$, Oder von $L_2$::

$S \rightarrow S_1 \mid S_2$

Der Rest der Regeln bleibt der gleiche wie in den beiden Sprachen. Es mag eine einfachere Grammatik geben, aber dies war die erste, die mir in den Sinn kam.

Beginnen Sie mit einer Grammatik für $\{a^i b^{2 i} : i \ge 0\}$::

$$S \rightarrow a S bb \mid \epsilon$$ Jetzt hacke es, damit es mehr gibt $a$ als $bb$:: $$\begin{align*} S &\rightarrow a S bb \mid A \\ A &\rightarrow a A \mid a \end{align*}$$ Die Modifikation, um mehr zu erzwingen $b$ist ähnlich und dir überlassen. Es werden ein Nonterminal und drei Produktionen hinzugefügt.