Suchen Sie eine gerade Linie, um zwei konvexe Polygone durch die gleiche Fläche zu teilen

Nehmen wir an , wir haben zwei nicht überlappenden konvexen Polygonen und . Wie können wir eine gerade Linie zeichnen, die in zwei Teile gleicher Fläche und auch in zwei Teile gleicher Fläche teilt ? Können wir dies auch in der Komplexität oder besser tun ? ( ) $A$ $B$ $A$ $B$ $O(n^2)$ $n = |A| + |B|$

computational-geometry

— John Reese
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Welche Ansätze haben Sie bisher in Betracht gezogen?

— Koverman47

Was hast du versucht? Wo bist du festgefahren? Wir helfen Ihnen gerne dabei, die Konzepte zu verstehen, aber es ist unwahrscheinlich, dass Sie nur Übungen für Sie lösen. Vielleicht finden Sie diese Seite hilfreich bei der Verbesserung Ihrer Frage.

— DW

Ich steckte in diesem Problem fest, als ich versuchte, dieses zu lösen . Das ist nicht wie Hausaufgaben oder so. Außerdem habe ich bis jetzt keine Ahnung, wie ich es lösen soll.

— John Reese

Dies ist als Ham-Sandwich-Theorem bekannt :

Bei zwei messbaren Objekten im zweidimensionalen euklidischen Raum ist es möglich, jedes von ihnen mit einer Linie in Hälften zu teilen. $2$

Hinweis: Konvexität ist nicht erforderlich. Und $\mathbb{R}^2$ kann ersetzt werden durch $\mathbb{R}^d$ mit "Linie" ersetzt durch a $(d{-}1)$ -dimensionale Hyperebene.

^{(Bild von curiosity.com .)}

Siehe den Wikipedia-Link für Computerversionen.

Als Antwort auf die Anfrage von @ WillardZhan hinzugefügt:

Ivan Stojmenovíc. Halbierungen und Schinkensandwichschnitte von konvexen Polygonen und Polyedern. Inf. Prozess. Lette. 38 (1): 15-21. 1991. ( CiteSeer PDF-Download .)
Zusammenfassung . Wir präsentieren einen linearen zeitsequenziellen Algorithmus zum Finden einer geraden Linie, die zwei gegebene disjunkte konvexe Polygone halbiert (dh beide in Teile gleicher Fläche schneidet).

Abbott, Timothy G., Erik D. Demaine, Martin L. Demaine, Daniel M. Kane, Stefan Langerman, Jelani Nelson und Vincent Yeung. "Dynamische Schinkensandwichschnitte konvexer Polygone in der Ebene." In CCCG , S. 61-64. 2005. ( PDF-Download .)

— Joseph O'Rourke
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Das Schinkensandwich ist ein erfolgreicher Wissenschaftler als die meisten Menschen

— koverman47

Ich bin nicht sicher, wie die im Wikipedia-Link beschriebene Point-Set-Version dieses Problems die Frage von OP zu Polygonen löst. Bitte erläutern Sie, wenn Sie so wollen.

— Willard Zhan

Ich habe Wikipedia einen Satz hinzugefügt, in dem ich das Papier von Stojmenovíc zitiere. Vielleicht werde ich diesen Eintrag später weiter ausbauen.

— Joseph O'Rourke