Was genau ist der semantische Unterschied zwischen Kategorie und Menge?

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In dieser Frage habe ich gefragt, was der Unterschied zwischen Satz und Typ ist . Diese Antworten waren wirklich klarstellend (z. B. @AndrejBauer), daher unterwerfe ich mich in meinem Wissensdurst der Versuchung, dasselbe nach Kategorien zu fragen:

Jedes Mal, wenn ich über Kategorietheorie lese (was zugegebenermaßen eher informell ist), kann ich nicht wirklich verstehen, wie sie sich konkret von der Mengenlehre unterscheidet .

So in der die meisten konkreten Art und Weise möglich, was genau tut es bedeutet , etwa $x$ zu sagen , dass es in der Kategorie , im Vergleich zu sagen , dass ? (zB was ist der Unterschied zwischen sagen ist eine Gruppe, im Vergleich zu sagen , dass ist in der Kategorie ?). $C$ $x\in S$ $x$ $x$ $\mathrm {Grp}$

(Sie können eine beliebige Kategorie auswählen und festlegen, die den Vergleich am klarsten macht.)

sets category-theory

— user56834
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Ich bin mir nicht sicher, ob diese Frage gut formuliert ist. Zuerst fragen Sie, was der Unterschied zwischen der Aussage, dass 'x in einer Kategorie C ist' und 'x in einer Menge S' ist, ist. Aber dann geben Sie das Beispiel der Frage 'x ist in der Kategorie Grp' vs 'x ist eine Gruppe'. Was? Das ist kein Beispiel für Ihre Frage. Ein Beispiel für Ihre Frage ist die Frage, was der Unterschied zwischen 'x ist in der Kategorie Grp' und 'x ist in der Menge aller Gruppen' ist. Aber selbst dann ist es nicht wirklich das, was Sie fragen, wenn Sie fragen, was die Unterschiede zwischen Kategorien und Mengen sind.

— Miles Rout

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Kurz gesagt, in der Mengenlehre geht es um Mitgliedschaft, während es in der Kategorietheorie um strukturerhaltende Transformationen geht.

In der Mengenlehre geht es nur um die Zugehörigkeit (dh um ein Element) und darum, was sich darin ausdrücken lässt (z. B. um eine Teilmenge). Es befasst sich nicht mit anderen Eigenschaften von Elementen oder Mengen.

Die Kategorietheorie ist eine Möglichkeit, darüber zu sprechen, wie mathematische Strukturen eines bestimmten Typs ¹ durch Funktionen, die einen Aspekt ihrer Struktur bewahren, ineinander ^{2 umgewandelt} werden können. Es bietet eine einheitliche Sprache für das Sprechen einer Vielzahl von Typen ¹ der mathematischen Struktur (Gruppen, Automaten, Vektorräume, Mengen, topologische Räume usw. und sogar Kategorien!) und der Zuordnungen innerhalb dieser Typen ¹ . Obwohl die Eigenschaften von Zuordnungen zwischen Strukturen formalisiert werden (eigentlich: zwischen den Mengen, denen die Struktur auferlegt wird), werden nur abstrakte Eigenschaften von Karten und Strukturen behandelt, die als Morphismen (oder Pfeile ) und Objekte bezeichnet werden;; Die Elemente solcher strukturierten Mengen sind weder Gegenstand der Kategorietheorie noch die Strukturen dieser Mengen. Sie fragen: " Was ist das für eine Theorie ? " Es ist eine Theorie strukturerhaltender Abbildungen von mathematischen Objekten eines beliebigen Typs ¹ .

Die Theorie der abstrakten Kategorien ³ignoriert jedoch, wie gerade erwähnt, die Mengen, Operationen, Beziehungen und Axiome, die die Struktur der fraglichen Objekte spezifizieren , vollständig und bietet lediglich eine Sprache, in der darüber gesprochen werden kann, wie Zuordnungen, die eine solche Struktur bewahren, vorhanden sind Verhalten: Ohne zu wissen, welche Struktur erhalten bleibt, wissen wir, dass die Kombination zweier solcher Karten auch die Struktur bewahrt. Aus diesem Grund erfordern die Axiome der Kategorietheorie, dass es ein assoziatives Zusammensetzungsgesetz für Morphismen gibt und dass es von jedem Objekt zu sich selbst einen Identitätsmorphismus gibt. Aber es geht nicht davon aus, dass morphisms tatsächlich sind Funktionen zwischen den Sätzen, nur , dass sie sich verhalten wie sie.

Zu erarbeiten: Konkrete Kategorien modellieren die Idee, den Objekten einer ' Basiskategorie ' Struktur hinzuzufügen; Wenn dies , kann es vorkommen, dass wir einer Menge eine Struktur wie eine Gruppenoperation hinzufügen. In diesem Fall kann man mehr darüber sagen, wie die Struktur in Bezug auf die spezifische Basiskategorie hinzugefügt wird. $\mathsf{Set}$

Was die Implikationen Ihrer Formulierungen betrifft , sagen Sie, dass " eine Gruppe ist", dass " ein Element der Gruppe von Gruppen ist" (eigentlich eine richtige Klasse ) oder dass " ist (ein Objekt) in "(Oder ein" -Objekt ") bedeutet logischerweise dasselbe, aber wenn Sie über die Kategorie sprechen, deuten Sie darauf hin, dass Sie an Gruppenhomomorphismen (den Morphismen in ) interessiert sind und vielleicht an dem, was sie gemeinsam haben mit anderen Morphismen. Auf der anderen Seite sagen $G$ $G$ $G$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $G$ Eine Gruppe könnte vorschlagen, dass Sie an der Struktur der Gruppe (ihrer Multiplikationsoperation) selbst interessiert sind oder vielleicht daran, wie die Gruppe auf ein anderes mathematisches Objekt einwirkt. Es ist unwahrscheinlich, dass Sie über sprechen, das zu der Gruppe von Gruppen gehört, obwohl Sie leicht für eine bestimmte Gruppe von Gruppen schreiben könnten, an denen Sie interessiert sind. $G$ $G ∈ S$ $S$

Siehe auch

/math/tagged/category-theory?sort=votes
- Insbesondere /math/272875/concrete-category-and-abstract-category#1774821
Abstrakte und konkrete Kategorien: Die Freude der Katzen von Adámek, Herrlich und Strecker
https://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory
- https://en.wikipedia.org/wiki/Concrete_category

¹ _{Hier und passim beziehe ich mich nicht auf Typ im Sinne der Typentheorie, sondern auf eine Reihe von Eigenschaften, die für die mathematischen Objekte / Strukturen erforderlich sind, dh eine Reihe von Axiomen, die sie erfüllen. Normalerweise beschreiben diese das Verhalten einiger Operationen oder Beziehungen auf Elementen der Mengen, von denen angenommen wird, dass sie die Struktur tragen, obwohl im Fall der Mengen selbst ( ) keine Struktur jenseits der Mengen selbst vorhanden ist. In jedem Fall ignoriert die Kategorietheorie, wie oben erwähnt, die Details dieser Struktur. $\mathsf{Set}$}

² _{Ich sollte vielleicht ganz oder teilweise ineinander sagen : Man erlaubt den Homomorphismus von (ganze Zahlen) in (Rationals), gegeben durch . $\mathbb Z$ $\mathbb Q$ $n \mapsto \frac n 2$}

³ _{Ohne Qualifikation bedeutet " Kategorie " normalerweise "abstrakte Kategorie", die, soweit ich sehen kann, 1945 eingeführt und in den 1960er Jahren entwickelt wurde, während konkrete Kategorien in den 1970er Jahren zu erscheinen scheinen.}

— PJTraill
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Ich bin mir nicht sicher, ob das rhetorisch war, aber es gibt definitiv eine richtige Klasse von Gruppen. Beispielsweise führt jede Menge zu einer trivialen Gruppe in der Singleton-Menge, die diese Menge enthält. Sie können auch eine geeignete Klasse nicht-isomorpher Beispiele erstellen.

— Derek Elkins verließ SE

Vielen Dank. Wenn Sie sagen: "Es ist eine Theorie strukturerhaltender Abbildungen von mathematischen Objekten eines beliebigen Typs ", meinen Sie "Typ" im Sinne der Typentheorie oder informeller?

— user56834

@ Programmer2134: Entschuldigung, wenn der Typ verwirrend war (ich habe mich gefragt); Ich meine nicht die Typentheorie (von der ich wenig weiß), sondern mathematische Objekte / Strukturen mit einem bestimmten Satz von Eigenschaften (dh das Erfüllen bestimmter Axiome) durch mathematische Objekte / Strukturen eines bestimmten Typs .

— PJTraill

Das verdeutlicht. Geht die Kategorietheorie also auch spezifisch davon aus, dass es solche Axiome gibt und dass diese Objekte alle diese Axiome erfüllen, oder ist dies lediglich ein Metakriterium, das wir zur Definition von Kategorien verwenden (dh Meta zum kategorietheoretischen Rahmen)?

— user56834

@ Programmer2134: Nein, die Kategorietheorie ignoriert die Axiome völlig und bietet nur eine Sprache, in der über Zuordnungen gesprochen werden kann, bei denen eine solche Struktur erhalten bleibt: Ohne zu wissen, welche Struktur erhalten bleibt, wissen wir, dass die Kombination zweier solcher Karten auch die Struktur bewahrt. Aus diesem Grund erfordern die Axiome der Kategorietheorie, dass es ein assoziatives Zusammensetzungsgesetz über Morphismen gibt und dass es von jedem Objekt zu sich selbst einen Identitätsmorphismus gibt . Aber es geht nicht davon aus, dass morphisms tatsächlich sind Funktionen zwischen den Sätzen, nur , dass sie sich verhalten wie sie.

— PJTraill

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Die Kategorietheorie ist in gewissem Sinne eine Verallgemeinerung der Mengenlehre: Die Kategorie könnte die Kategorie von Mengen sein, oder es könnte etwas anderes sein. Sie lernen also weniger, wenn Sie lernen, dass ein Objekt in einer nicht spezifizierten Kategorie ist, als wenn Sie lernen, dass eine Menge ist (da im letzteren Fall folgt, dass ein Objekt in einer bestimmten Kategorie von Mengen ist). Wenn Sie lernen, dass ein Objekt in einer bestimmten bestimmten Kategorie ist (außer der Kategorie von Mengen), unterscheidet sich das, was Sie lernen, von dem Lernen, dass eine Menge ist (dh ein Objekt in der Kategorie von Mengen). keiner impliziert den anderen. $C$ $x$ $x$ $x$ $x$ $x$

Es gibt keinen Unterschied zwischen der Aussage, dass eine Gruppe ist, und der Aussage, dass ein Objekt in der Kategorie Grp ist. Diese beiden Aussagen sind gleichwertig. $x$ $x$

Hinweis: Wir sagen nicht, dass in der Kategorie Grp ist. wir sagen, dass ein Objekt in der Kategorie Grp ist. Eine Kategorie enthält sowohl Objekte als auch Pfeile. Sie müssen angeben, über welche Sie sprechen. $x$ $x$

— DW
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Lassen Sie mich also Kategorien mit Mengen und Typen vergleichen, wie es @AndrejBrauer in seiner Antwort auf meine andere Frage getan hat. Eine Menge formalisiert den Begriff einer Sammlung von Objekten. Ein Typ formalisiert den Begriff einer Konstruktion von Objekten. Welchen Begriff formalisiert "Kategorie"? Was mathematische Prozess / Struktur ist Kategorientheorie eine Theorie von ?

— user56834

"Sie lernen also weniger, wenn Sie lernen, dass ein Objekt in einer nicht spezifizierten Kategorie ist, als wenn Sie lernen, dass eine Menge ist. " Wenn Sie "ist eine Menge" durch "ist ein Mitglied einer nicht spezifizierten Menge" ersetzen, wie würde sich diese Anweisung ändern? Setzen wir eine Einschränkung auf, indem wir sagen, dass es sich um ein Objekt einer nicht angegebenen Kategorie handelt? Sicherlich können wir nur eine Kategorie bilden, in der dieses das einzige Objekt ist?

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— user56834

@ Programmer2134, das ist ein guter Punkt. Macht Sinn. Ich akzeptiere deinen Standpunkt.

— DW

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Ein weiterer Punkt zur Erklärung der DW

Es gibt keinen Unterschied zwischen der Aussage, dass eine Gruppe ist, und der Aussage, dass ein Objekt in der Kategorie . Diese beiden Aussagen sind gleichwertig. $x$ $x$ $\mathsf{Grp}$

Ich möchte eine stärkere Aussage machen:

Ein Konzept wird durch seine Kategorie definiert

Stellen Sie sich das aus der Perspektive eines Erfinders vor, der sein Konzept erklären möchte. Angenommen , Ihr neues Konzept heißt . Zunächst müssen Sie möglicherweise angeben, wie viele Variationen von Instanzen von Dingen, die sind, vorhanden sein können. Nennen wir diese Sammlung von Instanzen . $M$ $M$ $M_0$

Nun, da Sie gesagt haben, dass es viele Dinge gibt, die , müssen Sie erklären, dass sie alle miteinander verglichen / in Beziehung stehen. Sie erklären, warum Sie denken, dass es sich um verschiedene Instanzen von . Es kann sogar mehrere Möglichkeiten geben, mit miteinander zu vergleichen. In einigen Fällen gibt es überhaupt keine Möglichkeit, sie zu vergleichen. Bezeichnen wir diese Sammlung von Möglichkeiten, mit zu vergleichen , als . $M$ $M$ $A \in M_0$ $B \in M_0$ $A$ $B$ $M(A,B)$

Sie bemerken wahrscheinlich bereits, dass die Sammlung von Objekten bildet und das Homset einer Kategorie ist. Die Gesetze der Kategorietheorie legen dann das erwartete Verhalten des "Vergleichs" fest. $M_0$ $M(A,B)$

Sobald Sie das haben, gibt Ihnen die Kategorie viele Standardeigenschaften des Konzepts. Beispiele reichen von

"Welche Instanzen sind im Wesentlichen gleich - Isomorphismus",
"Welche dieser beiden Instanzen ist mehr und welche weniger - Abschnittsrückzugspaar",
"Wie viele der Grundelemente befinden sich in dieser Instanz? --- Homset vom Terminalobjekt"

und so weiter.

Was die Frage betrifft, die Sie im Kommentar stellen

Von welchem mathematischen Prozess / welcher mathematischen Struktur ist die Kategorietheorie eine Theorie?

Sie kennen jetzt die Übung. Möchten Sie wissen, was ein Konzept wirklich ist? Schauen Sie sich die Kategorie an. In diesem Fall die Kategorie der kleinen Kategorien und Funktoren zwischen ihnen. $\mathsf{Cat}$

— Apiwat Chantawibul
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Hmm. Ich verstehe nicht genau, wie wir, wenn wir die Kategorie einer Struktur kennen, alles über diese Struktur wissen. Wir wissen nicht, welche Axiome die Struktur erfüllt, oder?

— user56834

@ Programmer2134 Das Überdenken der Mengenlehre von Tom Leinster (eine Zusammenfassung der Arbeit von Lawvere) ist ein gutes Beispiel. Die Arbeit definiert die Mengenlehre selbst, indem sie Eigenschaften (die Morphismen) der Menge von Mengen definiert (ohne auf Objekte innerhalb von Objekten zuzugreifen, um auf eine bereits bestehende Annahme über Mengen

— zuzugreifen

Sie sagen also, dass keinerlei Informationen über die Mengenlehre verloren gehen, wenn Sie nur die Kategorie der Mengen betrachten und dabei ihre Axiome vergessen?

— user56834

@ Programmer2134 Ja, tatsächlich ähneln die Axiome, die die ZFC-Mengenlehre definieren, in reine Eigenschaften von Morphismen. Diese Kategorie, von der wir behaupten, dass sie einige Eigenschaften für Morphismen hat, definiert die Mengenlehre.

— Apiwat Chantawibul

Kennen Sie einen Text, der diesen Punkt der Kategorietheorie klar und deutlich erklärt?

— user56834

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Sets

Grundkonzept . Zugehörigkeitsrelation

x \in A

$x\in A$

Andere Konzepte. Die Funktion wird in Bezug auf die Zugehörigkeitsrelation als eine Menge geordneter Paare mit $f$

(x, y) \in f and (x, z) \in f \Rightarrow y = z

$(x,y)\in f\text{ and }(x,z)\in f \Rightarrow y=z$

Philosophie. Mengen haben eine innere Struktur - sie werden vollständig durch ihre Elemente bestimmt.

Anmerkung. Ein von Mengen-Theoretikern weit verbreitetes axiomatisches System ist ZFC. Seine Stärke ist die Einfachheit: Es gibt nur Mengen und eine Zugehörigkeitsbeziehung. Andererseits glauben viele Mathematiker, dass dies zu einem Mengenkonzept führt, das von ihrem Verständnis und ihrer Verwendung von Mengen abweicht (vgl. Unten Leinster ). Tatsächlich scheint die überwiegende Mehrheit der Mathematiker (mit Ausnahme von Mengen-Theoretikern) die ZFC-Axiome nicht zu verwenden. Allerdings setzt nicht unbedingt auf ZFC beziehen (siehe unten Kategorien und ETCS).

Kategorien

A \to B

$A\rightarrow B$

$x\in A$ $\{y\})$

x : 1 \to A

$x:1\rightarrow A$

Philosophie. Objekte einer Kategorie haben a priori keine innere Struktur. Sie zeichnen sich nur durch ihre Beziehungen (Morphismen) zu anderen Objekten aus.

Anmerkung. Das Grundkonzept von Kategorien ist die Funktion, und dies fällt mit der Verwendung von Mengen durch die überwiegende Mehrheit der Mathematiker zusammen. Daher können Sie Kategorien als konzeptionelle Verallgemeinerung der Art und Weise betrachten, wie (die meisten) Mathematiker aus sehr unterschiedlichen Bereichen Mengen in ihrer täglichen Arbeit verwenden. Abgesehen von Kategorien (und Toposen) als Verallgemeinerung können Sie sich das axiomatische System ETCS ansehen, das Mengen axiomatisiert (vgl. Unten Leinster und Lawvere ).

Frage. Was ist der Unterschied zwischen der Aussage, dass x eine Gruppe ist, und der Aussage, dass x zur Kategorie Grp gehört?

$x$ $x$

Kritik

Im Fall von ZFC und ETCS können diese Ansätze ineinander übersetzt werden, obwohl ETCS schwächer als ZFC ist, aber (scheinbar) den größten Teil der Mathematik abdeckt (siehe MathStackExchange und Leinster). Im Prinzip (mit einer Erweiterung von ETCS) können Sie mit beiden Ansätzen die gleichen Ergebnisse nachweisen. Die oben genannten Philosophien beider Konzepte beanspruchen also keine grundlegende Unterscheidung darin, was Sie ausdrücken oder welche Ergebnisse Sie beweisen können.

Die Ausdrücke gesetzt und die Mitgliedschaft in ZFC sind abstrakte Konzepte wie die Konzepte von Kategorien oder anderes axiomatisches System und kann alles bedeuten. Unter diesem formalen Gesichtspunkt erscheint es unangemessen , zu behaupten, dass sich ZFC mit der inneren Struktur von Mengen befasst, während Kategorien sich mit den äußeren Beziehungen von Objekten zueinander befassen . Auf der anderen Seite scheint dies die Philosophie oder Intuition der betreffenden Theorien zu sein.

In der Praxis bevorzugen Sie jedoch einen bestimmten Ansatz, z. B. aus Gründen der Klarheit oder Einfachheit oder weil sich ein Konzept oder eine Verbindung zu einem anderen Bereich natürlicher entwickelt als anderswo.

Verweise

Spivak.Kategorietheorie für Wissenschaftler

Leinster. Überdenken der Mengenlehre

Lawvere.Eine Elementartheorie der Kategorie der Mengen

MathStackExchange.Category-Theorie ohne Mengen

— FWE
quelle