Warum ist ?

Ich würde gerne wissen, ob es eine Regel gibt, die dies beweist. Wenn ich zum Beispiel das Verteilungsgesetz verwende, erhalte ich nur .$(A \lor A) \land (A \lor \neg B)$

Ich finde Bilder sind großartig für alles, was einfach genug ist, um sie zu benutzen, was das ist.

Merken:

UND bedeutet die Fläche, die von beiden Dingen eingenommen wird. Das mittlere ist also das, was außerhalb von B, aber auch innerhalb von A aufgenommen wird. Ihre Verbindung wird nicht gezählt, da sie sich innerhalb von A, aber nicht außerhalb von B befindet.

ODER bedeutet, dass es von einem oder beiden abgedeckt wird. Beide decken den Teil von A ab, der sich außerhalb von B befindet, und die Kreuzung wird von A (erstes Bild) abgedeckt, sodass sie ebenfalls gezählt wird. Alles in allem hast du gerade wieder ein.

Tut mir leid, wenn dies zu simpel ist und Sie nicht sicher sind, auf welchem ​​Niveau Sie sich befinden.

Es gibt viele Möglichkeiten, dies zu sehen. Eines ist eine Wahrheitstabelle. Ein weiteres ist die Verteilungsregel zu verwenden:

Ich würde meine am wenigsten bevorzugte Inferenzregel anwenden: Disjunction Elimination . Grundsätzlich heißt es, wenn aus P folgt und R aus Q folgt , dann muss R wahr sein, wenn P ∨ Q : ( P → R ) , ( Q → R ) , ( P ∨ Q ) ⊢ $R$$P$$R$$Q$$R$$P \vee Q$

Nehmen wir also . Setze P = A , Q = A ∧ ¬ B , R = A und wende die Regel an:$A \lor (A \land \neg B)$$P = A$$Q = A \land \neg B$$R = A$

• Wenn ( = A ), sind wir fertig.$P$$= A$
• Wenn dann A (durch Konjunktionseliminierung ist S ∧ T ⊢ S )$Q = A \land \neg B$$A$$S \land T \vdash S$
• Durch Eliminierung Disjunktion .$A \lor (A \land \neg B) \to A$

Das Gegenteil ist trivial: Nehmen Sie , dann durch eine der Varianten der Konjunktionseinführung ( S ⊢ S ∨ T für ein beliebiges T ) A → A ∨ ( ⋯ ) .$A$$S \vdash S \lor T$$T$$A \to A \lor (\cdots)$

Hier ist ein Diagramm dieses Beweises:

Beachten Sie, dass, wenn wir wissen, dass D impliziert , wir C ∨ D = D haben . Dies ist analog zur Vereinigung einer Menge (entsprechend D ) und einer ihrer Teilmengen ( C ): Wir erhalten die größte Menge ( D ) zurück.$C$$D$$C \lor D = D$$D$$C$$D$

In Ihrem Fall ist und D = A , und die Implikation ist trivial.$C = A \land \lnot B$$D = A$

Ein intuitiverer Blick:

Aist immer wahr, wenn Aes wahr ist.

A & -Bist nur wahr, wenn Aes wahr ist.

Intuitiv würde das Anwenden von ODER auf diese beiden ein Ergebnis erzeugen, Cdas immer dann wahr ist, wenn Aes wahr ist. Als solches Cist immer wahr, wenn Aes wahr ist.

(Hören Sie hier auf zu lesen, wenn diese Erklärung für Sie funktioniert.)

So denke ich über dieses Problem. Diese Erklärung ist jedoch nicht vollständig, da wir nur das gezeigt haben A -> Cund nicht A <-> C.

Lassen Sie uns das also auch zeigen C -> A.

Aist immer falsch, wenn Afalsch ist.

A & -Bist immer falsch, wenn Afalsch ist.

Intuitiv würde das Anwenden von ODER auf diese beiden ein Ergebnis erzeugen, Cdas immer dann falsch ist, wenn Aes falsch ist. Als solches Cist es immer falsch, wenn Aes falsch ist; -A -> -CDas ist das Gleiche wie C -> A.

So A -> Cund C -> Aso A <-> C.

Manchmal sind die Menschen durch die Buchstaben verwirrt. Die Leute mögen Essen, weil man leicht darüber nachdenken kann.

Stell dir vor, ich bitte dich, eine Münze zu werfen, um zwischen der einen oder der anderen der beiden folgenden Optionen zu wählen:

• Ein Apfel ODER ...
• Ein Apfel und definitiv keine Banane.

[Das erste ist gleich "A", das zweite "A und nicht B". Aber denk nicht an die Buchstaben. Denken Sie an den Apfel und darüber nach, ob Sie auch eine Banane bekommen.]

Das erste bedeutet wirklich "Eine Apfeltorte, und vielleicht bekommst du eine Banane."

Etwas wegzulassen ist also dasselbe wie "vielleicht" zu sagen.

Wenn man sie als Paar betrachtet, wird es auf jeden Fall einen Apple geben. Yay. Und wenn Ihr Coinflip den richtigen auswählt, erhalten Sie möglicherweise eine Banane.

Aber ist das nicht dasselbe wie "Vielleicht kriegst du eine Banane"? Nur mit der halben Wahrscheinlichkeit?

Alles, was Sie logischerweise sagen können, ist, dass Sie einen Apple bekommen. Sie können nichts darüber sagen, ob Sie eine Banane bekommen.

Ähnlich wie die Antwort von Yuval Filmus. Verwenden der Booleschen Algebra in der technischen Notaion und Ausklammern (oder Faktorisieren) von A.

$A+A\cdot\bar B=A\cdot(1+\bar B)=A\cdot1=A$

Es scheint, als hätte es noch niemand erwähnt, also werde ich weitermachen.

Das Gesetz, das diese Art von Problemen behandelt, ist das Absorptionsgesetz, das besagt, dass pv (p ^ q) = p und auch p ^ (pvq) = p. Wenn Sie versuchen, das Distributionsgesetz zu verwenden, bleiben Sie für immer im Kreis:

(A v A) ^ (A v ~ B) = A ^ (A v ~ B) = (A ^ A) v (A ^ ~ B) = A v (A ^ ~ B) = (A v A) ^ (A v ~ B)

Ich habe das falsche Symbol für nicht und gleich verwendet, aber der Punkt hier ist, dass, wenn Sie in Kreisen gehen / wenn es eine und-oder Nichtübereinstimmung gibt, Sie normalerweise auf das Absoprtionsgesetz achten sollten.

B ist für das Ergebnis irrelevant, wie Sie feststellen werden, wenn Sie dies in eine Wahrheitstabelle schreiben.

Eine andere intuitive Möglichkeit, dies zu betrachten:

Wenn A eine Menge ist, können wir sagen, dass jedes gegebene Objekt entweder (in A) oder (nicht in A) ist.

Schauen Sie sich nun S = A oder (A und nicht B) an :

• Wenn sich ein Objekt in A befindet, enthält "A oder irgendetwas" alle Elemente in A, sodass sich das Objekt auch in S befindet.

• Wenn sich ein Objekt nicht in A befindet, schließt "A und alles" alle Elemente aus, die sich nicht in A befinden. Das Objekt befindet sich also weder in A noch in (A und nicht in B), also nicht in S.

Das Ergebnis ist also, dass jedes Objekt in A in S ist und jedes Objekt, das nicht in A ist, nicht in S. Intuitiv gesehen müssen die Objekte in S genau die in A sein und keine anderen Objekte.

Wenn zwei Mengen identische Elemente haben, werden sie als dieselbe Menge definiert. Also A = S.

Eine einfache Methode, die Sie immer anwenden können, wenn Sie nicht weiterkommen, ist die Fallanalyse.

$A$

$A$

$A$

lets consider: 
  1) A as 1 and B as 0. 
  2) A as 0 and B as 1. 
  3) A as 1 and B as 1.
  4) A as 0 and B as 0.

using the first scenario : A or (A and !B) => 1 or ( 1 and 1) => 1 0r 1 => 1
using the second scenario: A or (A and !B) => 0 or ( 0 and 0) => 0 or 0 => 0
using the third scenario : A or (A and !B) => 1 or ( 1 and 0) => 1 or 0 => 1
using the fourth scenario: A or (A and !B) => 0 or ( 0 and 1) => 0 or 0 => 0

From the above four cases, the result always depends on A not on B, so the result is A.