Randomisierter Algorithmus für 3SAT

Es gibt einen sehr einfachen randomisierten Algorithmus, der bei einem 3SAT eine Zuordnung erzeugt, die mindestens 7/8 der Klauseln erfüllt (in Erwartung): Wählen Sie eine zufällige Zuordnung. Eine zufällige Zuordnung erfüllt jede Klausel mit einer Wahrscheinlichkeit von 7/8, und die Linearität der Erwartung zeigt, dass der erwartete Anteil der Klauseln, die durch eine zufällige Zuordnung erfüllt werden, 7/8 beträgt.

Kann dies deterministisch erfolgen? Wenn ja, warum interessieren wir uns für den randomisierten Algorithmus?

Der Zufallszuweisungsalgorithmus kann unter Verwendung der Methode der bedingten Erwartungen derandomisiert (deterministisch gemacht) werden.

Die 3SAT-Instanz bestehe aus den Klauseln $C_1,\ldots,C_m$ . Während des Algorithmus weisen wir Variablen Werte zu. Die Punktzahl einer Klausel $C$ ist wie folgt definiert:

• Wenn $C$ erfüllt ist, ist seine Punktzahl 1.
• Wenn $C$ nicht zufrieden ist und $k$ nicht zugewiesene Literale hat, beträgt seine Punktzahl $1-2^{-k}$ .

Zunächst wird die Punktzahl jeder Klausel $1-2^{-3} = 7/8$ , und so die Gesamtpunktzahl ist $(7/8) m$ . Wir weisen nun den Variablen $x_1,\ldots,x_n$ Reihe nach Werte zu . Angenommen, wir haben den Variablen $x_1,\ldots,x_{i-1}$ Werte zugewiesen , und die aktuelle Gesamtpunktzahl ist $S = S(C_1)+\cdots+S(C_m)$ . Sei$S_0,S_1$ die Gesamtpunktzahl, wenn wir x i die Werte$0,1$ (jeweils)zuweisen. Ich beanspruchedass S 0 ( C ) + S 1 ( C ) = 2 S ( C ) für jede Klausel C , und so S 0 + S 1 = 2 S . Tatsächlich:$x_i$$S_0(C)+S_1(C) = 2S(C)$$C$$S_0 + S_1 = 2S$

• Wenn $C$ erfüllt ist (nur $x_1,\ldots,x_{i-1}$ ) oder $x_i$ nicht enthält, dann ist $S_0(C) + S_1(C) = 2S(C)$ .
• Angenommen, $C$ enthält $k$ nicht zugewiesene Literale, einschließlich $x_i$ . Dann ist $S(C) = 1-2^{-k}$ , $S_0(C) = 1-2^{-(k-1)}$ und $S_1(C) = 1$ . Daher ist $$S_0(C) + S_1(C) = [1 - 2 \cdot 2^{-k}] + 1 = 2(1 - 2^{-k}) = 2S(C).$$
• Ein ähnliches Argument funktioniert, wenn $C$$\bar{x}_i$ enthält .

Da $S_0 + S_1 = 2S$ , ist entweder $S_0 \geq S$ oder $S_1 \geq S$ (möglicherweise beides). Daher gibt es eine Zuordnung zu $S$ so dass nach der Zuweisung die neue Punktzahl mindestens $S$ beträgt .

Der Anfangsstand $(7/8)m$ , und der Algorithmus sicher , dass die Kerbe nicht abnimmt. Am Ende ist die Punktzahl einer Klausel $C$ 1, wenn sie erfüllt ist, und andernfalls $1-2^{-0}=0$ . Somit wird die endgültige Zuordnung erfüllt mindestens $(7/8)m$ - Klauseln.

Warum interessieren wir uns angesichts des deterministischen Algorithmus für den randomisierten? Es gibt verschiedene Gründe:

1. Der randomisierte Algorithmus ist viel einfacher.
2. Der randomisierte Algorithmus ist möglicherweise schneller.
3. Der randomisierte Algorithmus kann unter Verwendung der Methode der bedingten Erwartungen in einen deterministischen Algorithmus umgewandelt werden. wir können es uns als ein Rezept für die Konstruktion eines deterministischen Algorithmus vorstellen.

$\mathsf{P}=\mathsf{BPP}$