Folge einer Zeichenfolge, aber nicht von anderen

Lassen $\Sigma$ sei ein Alphabet und lass $x^+,x^-_1,\dots,x^-_n \in \Sigma^*$ Zeichenfolgen über diesem Alphabet sein. Rufen Sie eine Zeichenfolge auf $s \in \Sigma^*$ gut wenn $s$ ist eine Folge von $x^+$ aber keine Folge von $x^-_1,\dots,x^-_n$ .

Gegeben $x^+,x^-_1,\dots,x^-_n$ Ich suche die kürzeste gute Saite $s$ . Gibt es dafür einen vernünftigen Algorithmus? Ich interessiere mich für einen praktischen Algorithmus, auch wenn seine Laufzeit im ungünstigsten Fall nicht großartig ist. In meiner Domäne die Zeichenfolgen $x^+,x^-_1,\dots,x^-_n$ mag ziemlich lang sein, aber ich gehe davon aus, dass es eine gute Saite geben wird $s$ das ist ziemlich kurz, falls das hilft.

Der Fall $n=1$ wird von der kürzesten Teilsequenz einer Zeichenfolge behandelt, das ist keine Teilsequenz einer anderen Zeichenfolge , aber ich muss mich mit dem Fall befassen $n>1$ .

— DW
quelle

Mein Standardvorschlag: Suffixbaum? Die Zeichenfolge, nach der Sie suchen, ist der Knoten mit der kleinsten Ebene unter allen, die nur eine haben

(x^{+},_)

$(x^+, \_)$ als Blatt. Oh, warten Sie ... sub - Sequenz ? Verdammt. Hm.

— Raphael

Ist das Problem ohne

x^{+}

$x^+$ die doppelte bis längste gemeinsame Teilfolge? Wenn ja, kann vielleicht etwas in diese Richtung getan werden. (Das Aufzählen allgemeiner Nicht-Teilsequenzen durch Erhöhen der Länge würde Ihr Problem lösen.)

— Raphael

Ich glaube, dass Aryabhatas DP ziemlich einfach auf die erweitert werden kann

n > 1

$n > 1$ Fall: einfach verwenden

n

$n$ Tabellen, eine für jede

x_{i}^{-}

$x_i^-$ und dann nach dem Kleinsten suchen

L

$L$ so dass für jeden Tisch $i$ und für einige

k

$k$ ,

i s_t h e r e [i, k, t, L] = f a l s e

$is\_there[i, k, t, L] = false$ . Das wird dir die Länge sagen (

L

$L$ ) und das letzte Zeichen (

x^{+} [k]

$x^+[k]$ ), aber ich bin noch nicht sicher, wie ich die früheren Zeichen extrahieren soll ...

— j_random_hacker

@j_random_hacker, ich denke nicht, dass das funktioniert. Das könnte eine Teilfolge von auswählen

x^{+}

$x^+$ von Länge

L

$L$ das ist keine Folge von

x_{1}^{-}

$x^-_1$ und eine andere Folge von

x^{+}

$x^+$ von Länge

L

$L$ das ist keine Folge von

x_{2}^{-}

$x^-_2$ . (Der erste könnte eine Teilfolge von sein

x_{2}^{-}

$x^-_2$ und der zweite eine Teilfolge von

x_{1}^{-}

$x^-_1$ , was schlecht wäre.) Wir brauchen eine einzige Teilsequenz von

x^{+}

$x^+$ , nicht für jeden einen eigenen

x_{i}^{-}

$x^-_i$ . Oder habe ich etwas Kluges an Ihrer Idee vermisst?

— DW

Wenn Sie nicht unbedingt die kürzeste Teilsequenz benötigen, können Sie die Tatsache verwenden, dass, wenn eine Zeichenfolge

s

$s$ ist keine Folge von irgendwelchen

x_{i}^{-}

$x_i^-$ dann ist es auch keine Folge einer Verschachtelung der Saiten

x_{i}^{-}

$x_i^-$ . Sie können also viele verschiedene Möglichkeiten ausprobieren, um das zufällig zu verschachteln

n

$n$ Saiten

x_{i}^{-}

$x_i^-$ in eine einzelne Zeichenfolge und für jede solche Verschachtelung

y_{j}

$y_j$ Suchen Sie nach einer Teilsequenz

z_{j}

$z_j$ von

x^{+}

$x^+$ das vermeidet, eine Folge von zu sein

y_{j}

$y_j$ mit Aryabhatas DP, und wählen Sie, was auch immer

z_{j}

$z_j$ ist am kürzesten.

— j_random_hacker

Fehler

Zunächst habe ich in den Kommentaren einige Fehler gemacht: Sowohl die ursprüngliche Behauptung, die ich über das Verschachteln gemacht habe, als auch der Kommentar "korrigieren" (jetzt gelöscht) waren falsch, und separat meine Behauptung, dass das Ausprobieren aller möglichen Verschachtelungen eine optimale Lösung ergeben muss war auch falsch (ich gebe ein einfaches Gegenbeispiel unten). Zum Schluss mein Vorschlag zu setzen $x^+ = z_j$ und iterieren oder die Strahlensuche verwenden ist eigentlich auch nicht hilfreich: Welche Antwort auch immer dadurch erzeugt werden könnte und die Anwendung von Aryabhatas DP kann niemals besser sein als die Verwendung des Originals $x^+$ , da es lediglich die Größe des Lösungssatzes reduziert, aus dem der DP auswählen kann. Es tut uns leid! Hoffentlich enthält die verbesserte Version unten keine weiteren Probleme ...

Ich habe auch zwei Fehler in Aryabhatas DP bemerkt . Glücklicherweise können beide leicht repariert werden (siehe meine Kommentare zu diesem Beitrag).

Eine heuristische Lösung mit zufälligen Verschachtelungen

Wenn Sie nicht unbedingt die kürzeste Teilsequenz benötigen, können Sie die Tatsache verwenden, dass, wenn eine Zeichenfolge $s$ ist eine Folge von einigen $x^-_i$ dann ist es auch eine Folge jeder möglichen Verschachtelung aller Strings $x^-_i$ . Drehen Sie dies um, wenn $s$ ist keine Folge einer bestimmten Verschachtelung aller Zeichenketten $x^-_i$ , Dann ist es keine Folge von jedem einzelnen $x^-_i$ .

Sie können also viele verschiedene Möglichkeiten ausprobieren, um das zufällig zu verschachteln $n$ Saiten $x^−_i$ in eine einzelne Zeichenfolge und für jede solche Verschachtelung $y_j$ Suchen Sie nach der kürzesten Folge $z_j$ von $x^+$ das vermeidet, eine Folge von zu sein $y_j$ Verwenden Sie den netten DP-Algorithmus von Aryabhata für den Fall mit zwei Zeichenfolgen und wählen Sie den gewünschten aus $z_j$ ist über alle von Ihnen versuchten Verschachtelungen am kürzesten.

Vorsichtsmaßnahme: Keine Garantie für Optimalität, auch wenn wir alle Verschachtelungen versuchen

Überraschenderweise (zumindest für mich) ist es nicht garantiert, dass Sie die optimale Lösung finden, selbst wenn Sie das obige Verfahren für alle möglichen Verschachtelungen wiederholen: Betrachten Sie den Fall, in dem $x^+ = aaa$ , $n=2$ , und $x^-_1 = x^-_2 = a$ . Dann $aa$ ist eine optimale Lösung mit Länge 2, aber die kürzeste Lösung, die durch Ausprobieren aller Verschachtelungen von gefunden wird $x^-_1$ und $x^-_2$ ist $aaa$ mit der Länge 3.

— j_random_hacker
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