Können die Formalismen der Kategorietheorie die der Typentheorie ersetzen?

Die Feinheiten der Entsprechung zwischen Typentheorie und Kategorietheorie liegen außerhalb meines Wissens. Durch mein naives Verständnis der Beziehung zwischen den beiden historisch konvergenten Disziplinen fasst die letztere die erstere vollständig zusammen. Wenn dies der Fall ist, können die von Kategorietheoretikern verwendeten sprachlichen und formalen / grafischen Beschreibungen die von Typtheoretikern ersetzen? Und sollten sie (z. B. in der Pädagogik und im akademischen Verlagswesen)?

Unterschiedliche Formalismen können neue Perspektiven inspirieren und bloße konzeptionelle Verbindungen herstellen, die sonst möglicherweise unklar wären. Eine Vielzahl von Dialekten begrenzt jedoch wahrscheinlich auch die Größe eines aufnahmefähigen Publikums, und sollte ein polygloter Ansatz gewählt werden, wird die Länge und Komplexität der Darstellung noch verstärkt.

Wenn die Kategorietheorie die Typentheorie subsumiert, sollten die dialektischen Unterschiede der beiden Disziplinen beibehalten werden, und wenn ja, warum? Aus historischen oder kulturellen Gründen? Unterschiedliche, aber hervorstechende Unterschiede in Bezug auf Unterricht oder theoretische Betonung beibehalten? Was könnten das sein?

Da Sie sagen, dass "die Feinheiten der Korrespondenz zwischen Typentheorie und Kategorietheorie außerhalb Ihres Wissens liegen", besteht der beste Weg, die Korrespondenz zu verstehen, darin, nichttechnische Darstellungen zu diesem Thema zu lesen. Ich kann zwei empfehlen:

1. Steve Awodey, Von Mengen zu Typen, zu Kategorien, zu Mengen , In: Sommaruga G. (Hrsg.) Grundlegende Theorien der klassischen und konstruktiven Mathematik. The Western Ontario Series in Philosophy of Science, Band 76. Springer, Dordrecht ( kostenloser Vorabdruck hier )

2. Robert Harpers Blog-Beitrag The Holy Trinity , und sehen Sie auch diese Folien .

Ich nehme an, die Lektion, die Sie mitnehmen sollten, ist, dass jeder Ansatz etwas zu bieten hat und dass sie am besten zusammenarbeiten, und nicht so sehr, wenn Sie versuchen, einen durch den anderen zu ersetzen oder zu subsumieren.

Meine Ansicht ist mehr oder weniger ähnlich wie die von Chi. Ich sehe Kategorietheorie als (grob) Typentheorie, was Modelltheorie für Logik ist. Einige der Konsequenzen davon sind zum einen, dass jeder autonom existieren kann. In der Tat geht die Typentheorie der Kategorietheorie voraus, und die Schaffung der Kategorietheorie war durch diese Bedenken nicht motiviert. Zweitens sind viele der Unterscheidungen, die Kategorietheorie / Modelltheorie absichtlich zu verwischen versuchen, von primärem Interesse für die Typentheorie / -logik.

Als sehr einfaches Beispiel führen alle Darstellungen der Axiome einer Gruppe zu derselben Klasse von Modellen (nämlich Gruppen). Aus der Perspektive der universellen Algebra vergisst eine Sorte (im Sinne der universellen Algebra oder eine endliche algebraische Kategorie aus CT-Sicht) ihre Darstellung. Aus der Perspektive der Gleichungslogik ist die Präsentation alles, was es gibt. Ein primäres rechnerisches Thema ist hier die E-Vereinigung, die vollständig auf der Ebene der Gleichungslogik, dh der Präsentation, arbeitet.

$\beta\eta$$\beta\eta$, oder wir müssen die STLC bereits außerhalb der Kategorietheorie verstehen, oder wir müssen statt Präsentationen von kartesischen geschlossenen Kategorien sprechen , die nach einem ziemlich natürlichen Ansatz zu etwas CAM-ähnlichem führen. Im letzten Fall wird die Gleichheit der Pfeile zu einem Problem der E-Vereinigung. Um diesen Prozess zu verstehen und zu vereinfachen sowie die ergonomischere Fassade des STLC davor zu platzieren, sind Techniken erforderlich, die das A und O der Logik und der Typentheorie sind, aber innerhalb der Kategorietheorie nicht besonders natürlich sind.

Ein massiv stark vereinfachtes Bild, das dennoch eine bessere Vorstellung davon geben kann, wie Kategorietheorie und Typentheorie zusammenhängen, ist das Folgende. Sie können sie sich als zwei Dimensionen vorstellen. Die Werkzeuge, Techniken und Notationen der Typentheorie sind darauf ausgerichtet, sich vertikal zwischen verschiedenen Darstellungen desselben Objekts zu bewegen, während die Werkzeuge, Techniken und Notationen der Kategorietheorie darauf ausgerichtet sind, sich horizontal zwischen verschiedenen mathematischen Objekten zu bewegen. Man könnte sogar sagen, dass eine Kategorie eine ganze vertikale Linie ist und dass die Kategorietheorie davon spricht, eine vertikale Linie zu einer anderen zu verschieben, aber nicht davon, wie die Punkte der beiden Linien übereinstimmen. In diesem Bild ist die Kategorietheorie nicht einmal fähig über die Unterscheidungen zu sprechen, die die Typentheorie macht, aber dies ist beabsichtigt, weil dies bedeutet, dass die willkürlich komplizierte Zuordnung von Punkten auf einer vertikalen Linie zu Punkten auf einer anderen nur irrelevant für die Kategorietheorie ist und ignoriert werden kann.

In meinem Blog-Beitrag " Kategorietheorie, Syntaktisch" beschreibe ich einen Ansatz, bei dem die Kategorietheorie eher der Typentheorie ähnelt (und nicht umgekehrt). Es überrascht nicht, dass ich dort wirklich über Kategorienpräsentationen spreche. Außerdem können Sie Aspekte der Normalisierung ins Bild sehen, z. B. in meiner Diskussion über "Produkttheorien", obwohl dies in diesem speziellen Beitrag überhaupt kein Schwerpunkt ist.