Finden Sie einen Hall-Violator mit minimaler Kardinalität

Gegeben ein zweigliedriger Graph $(X,Y，E)$, in dem es keine perfekte Übereinstimmung gibt, möchte ich eine kleinste Teilmenge finden, die gegen Halls Bedingung verstößt, dh eine Menge mit minimaler Kardinalität $S \subseteq X$ für welche $|N(S)|<|S|$.

Dieses Problem ist die Optimierungsversion einer früheren Frage. Finden einer Teilmenge in einem zweigeteilten Graphen, die gegen Halls Bedingung verstößt , von der ich weiß, dass es einen Polynom-Zeit-Algorithmus zum Finden einer solchen gibt$S \subseteq X$. Gibt es einen Polynomalgorithmus für das Optimierungsproblem?

Dies ist keine Antwort - nur eine lange Notiz.

Die Frage bezieht sich auf das Problem der minimalen Scheitelpunktabdeckung mit minimaler Überlappung einer Seite . Angenommen, wir haben eine minimale Scheitelpunktabdeckung$C$ von Größe $m$. Nach dem Satz von König,$m$ entspricht auch der Größe der maximalen Übereinstimmung, also $m < n$.

Schon seit $C$ ist eine Scheitelpunktabdeckung, jeder Scheitelpunkt nicht in $C$ muss alle seine Nachbarn in haben $C$. Damit$N(X\setminus C)\subseteq Y\cap C$. Daher:

Ich bin mir jedoch nicht sicher, ob ich eine $C$ was maximiert $X\cap C$ ergibt auch den kleinsten Hallverletzer.

tl; dr : Ich habe eine fatale Lücke in diesem Beweis gefunden, dass ich nicht schließen konnte. Ich lasse diese Antwort für den Fall, dass entweder: a) ich herausfinde, wie ich sie reparieren kann, oder b) sie jemanden dazu inspiriert, herauszufinden, wie man sie repariert.

Lassen $G = (X \cup Y, E)$sei ein zweiteiliger Graph ohne perfekte Übereinstimmung. Wir werden sagen, dass eine Teilmenge$S$ist mangelhaft, wenn$|N(S)| \lt |S|$. Wir suchen nach einer minimalen, mangelhaften Teilmenge von$X$. Der allgemeine Ansatz wird Potenzial gering wie möglich zu identifizieren, mangelhafte Sätze durch Charakterisierung (und finden) alle Mini mal , mangelhafte Sätze, das heißt: mangelhaft Sätze$S\subset X$das enthält keine mangelhaften Teilmengen. Lassen Sie uns einige Beobachtungen zu den Eigenschaften dieser minimalen, mangelhaften Mengen machen.

Beobachtung 1 : Eine Teilmenge$S$ ist eine minimale mangelhafte Teilmenge von $X$ iff für alle $s \in S$, der Satz $S\setminus \{s\}$ hat eine perfekte Übereinstimmung in $G$. Dies ist nur der Satz von Hall.

Beobachtung 2 : Wenn$S$ ist eine minimale mangelhafte Teilmenge von $X$dann für alle $s_1, s_2 \in S$gibt es einen Pfad in $G$ von $s_1$ zu $s_2$. Andernfalls könnten wir uns zersetzen$S$ in zwei (oder mehr) Komponenten, von denen mindestens eine mangelhaft sein müsste, was der Minimalität widerspricht.

Lassen Sie uns jetzt beheben $M$, einige maximale Übereinstimmung in $G$. Lassen$X' \subset X$ und $Y' \subset Y$ seien Sie die Eckpunkte, mit denen übereinstimmen $M$ und lass $U = X\setminus X'$ sei die Teilmenge der nicht übereinstimmenden Eckpunkte in $X$. Für jede Teilmenge$S$ von $X$werden wir auch bezeichnen $m(S)$ als die Menge der Eckpunkte in $G$ erreichbar von $S$ über $M$-Änderungspfade.

In einer Antwort auf die im OP verknüpfte Frage sehen wir einen Beweis dafür, dass, wenn wir nehmen$S = U \cup (m(U) \cap X)$ dann $S$ist mangelhaft. Das sorgfältige Lesen dieses Beweises zeigt, dass es nicht nur für funktioniert$U$ aber jede Untermenge von $U$. Das heißt, wenn wir eine Teilmenge nehmen$U_1 \subseteq U$, dann $U_1 \cup (m(U_1) \cap X)$ ist eine mangelhafte Teilmenge von $X$. Insbesondere können wir nehmen$U_1$ein Singleton-Set sein. Für jeden$u \in U$, lass uns definieren $D_u = \{u\} \cup (m(\{u\}) \cap X)$.

Lemma 1 :$D_u$ ist ein minimaler, mangelhafter Satz für alle $u \in U$.

Beweis : Das nehmen wir als selbstverständlich an$D_u$ist durch den in der zuvor genannten Antwort angegebenen Beweis mangelhaft. Zu zeigen, dass$D_u$ Ist ein minimaler Mangel an Wrt, beobachten wir das $D_u \setminus \{u\}$ ist einfach eine Teilmenge von $X'$, daher gibt es eine perfekte Übereinstimmung innerhalb von $G$ (Nehmen Sie einfach die Einschränkung von $M$ zu $D_u\setminus \{u\}$). Für jeden anderen$y \in D_u$Wir folgen dem $M$-Änderungspfad von $y$ zu $u$Drehen Sie alle Kanten entlang dieses Pfades um und erhalten Sie eine perfekte Übereinstimmung von $D_u \setminus \{y\}$ im $G$. Also, durch Beobachtung 1,$D_u$ ist ein minimaler, mangelhafter Satz. $\square$

Ok, jetzt, da wir eine Sammlung von minimalen, mangelhaften Teilmengen von identifiziert haben $X$müssen wir fragen: was ist mit anderen?

Um eine kleine Struktur hinzuzufügen, betrachten wir eine beliebige Menge $S \subseteq X$ in der Form sein $S = U_1 \cup Z_1 \cup Z_2$ wo $U_1 \subseteq U$, $Z_1 \subseteq m(U_1)$ und $Z_2 \subseteq X' \setminus m(U_1)$. Mit anderen Worten, wir brechen$S$ in den Teil, der von nicht erreicht wird $M$ ($U_1$), der Teil, der von erreichbar ist $U_1$ über $M$-wechselnde Pfade ($Z_1$) und der Teil, der nicht erreichbar ist $U_1$ über $M$-wechselnde Pfade ($Z_2$). Es ist trivial zu beobachten, ob$S$ ist also eine mangelhafte Menge $U_1$ darf nicht leer sein.

Über Lemma 1 haben wir den Fall behandelt, in dem $Z_1 = m(U_1)$ und $Z_2$ist leer. Dies lässt drei Fälle zu untersuchen:

1. $Z_2$ ist nicht leer
2. $|U_1| > 1$ und $Z_1 \subsetneq m(U_1)$
3. $Z_1$ und sind beide leer (dh: ).$Z_2$$S \subseteq U$

Lemma 2 : Wenn ist so , dass , dann ist nicht minimal, defiziente Teilmenge von .$S = U_1 \cup Z_1 \cup Z_2 \subseteq X$$Z_2 \neq \emptyset$$S$$X$

Beweis : Sei die Elemente von , die mit in übereinstimmen . Per Definition kann es keine Kanten von oder zu da dies einen alternierenden Pfad von zu Eckpunkten in implizieren würde .$M(Z_2)$$Y$$Z_2$$M$$U_1$$Z_1$$M(Z_2)$$M$$U_1$$Z_2$

Wenn eine minimale, mangelhafte Menge ist, hat jede Teilmenge von eine vollständige Übereinstimmung. Insbesondere hat eine vollständige Übereinstimmung, beispielsweise . Durch unsere vorherige Beobachtung stellen wir fest, dass diese vollständige Übereinstimmung keinen der Eckpunkte in . Somit ist die Übereinstimmung, die unter Verwendung von zur Übereinstimmung von und zur Übereinstimmung von wird, eine vollständige Übereinstimmung für , was der Annahme widerspricht, dass mangelhaft war. $S$$S$$U_1 \cup Z_1$$M_1$$M_1$$M(Z_2)$$M_1$$U_1 \cup Z_1$$M$$Z_2$$S$$S$$\square$

In einer früheren Version dieser Antwort hatte ich Fall 2) vernachlässigt, unter der Annahme, dass er während des Beweises von Lemma 1 irgendwie abgedeckt wurde. Dies ist jedoch nicht der Fall. Es kann minimale, mangelhafte Mengen geben, die nicht wie aussehen . Das folgende Diagramm zeigt ein solches Beispiel. Wenn wir die fettgedruckten Kanten als übereinstimmendes , können wir sehen, dass eine minimale, mangelhafte Menge ist und nicht die Form . Ich konnte noch keine effektive Charakterisierung von minimalen mangelhaften Mengen finden, die in Fall 2 fallen, daher kann ich diesen Beweis derzeit nicht vervollständigen.$D_u$$M$$S = \{A, B, C\}$$D_u$