Probleme beim Verstehen des Hauptsatzes aus Jeffrey Ericksons Notizen

Ich schaue mir Jeffrey Ericksons Notizen zum Hauptsatz an (Seite 10).

Teil (b) des Satzes besagt, dass wenn , und k > 1, dann ist T (n) \ Theta (n ^ {\ log_b (a)}) . Aber ich bekomme ein anderes Ergebnis.$T(n) = aT(\frac{n}{b})+f(n)$$af(\frac{n}{b}) = kf(n)$$k>1$$\Theta(n^{\log_b(a)})$

Unter Verwendung von Rekursionsbäumen haben wir

$$T(n) = \sum_{i=0}^{\log_b(n)} a^i f\left(\frac{n}{b^i}\right) = \sum_{k=0}^{\log_b(n)} k^i f(n)\,.$$

Wenn $k<1$ ist dies wie gewünscht $\sim f(n)$ . Wenn $k=1$ ist dies wie gewünscht $\sim \log_b(n)f(n)$ . Wenn jedoch $k>1$ ist, handelt es sich um eine aufsteigende geometrische Reihe, sodass der letzte Term dominiert. Dann haben wir

$$\sim k^{\log_b(n)}f(n) = n^{\log_b(k)}f(n)\,,$$ was falsch ist; Die richtige Antwort lautet $\Theta(n^{\log_b(a)})$ . Wo geht meine Argumentation aus dem Ruder und was ist die richtige Lösung?

Jede Hilfe wird geschätzt.

EDIT: Ich denke, meine Antwort ist tatsächlich richtig und entspricht Ericksons einfacherer Antwort. Man beachte, dass $k^nf(n) = k^{n-1}af(\frac{n}{b}) ... = ka^{n-1}f(\frac{n}{b^k-1}) = a^nf(\frac{n}{b^k}).$ Daher ist $k^{\log_b(n)}f(n) = a^{\log_b(n)}f(1) \sim n^{\log_b(a)}$ .

Sie können n ^ {\ log_b (k)} f (n) weiter vereinfachen $n^{\log_b(k)}f(n)$.

Wir haben . Wenn , können wir diese Identität mal anwenden , um .$\frac{a}{k}f(\frac{n}{b}) = f(n)$$c = \log_b(n)$$c$$\left(\frac{a}{k}\right)^c f(1)$

Also$n^{\log_b(k)}f(n) = n^{\log_b(k)}\left(\frac{a}{k}\right)^c f(1) = k^{\log_b(n)}\left(\frac{a}{k}\right)^{\log_b(n)} f(1) = a^{\log_b(n)}f(1) = \Theta(n^{\log_b(a)})$