Algorithmus zum Finden aller 2-Hop-Nachbarlisten in einem Diagramm

Gegeben sei ein Graph , wobei . Was ist ein schneller Algorithmus , um die Sammlung aller 2-Hop - Nachbarschaft Listen aller Knoten in zur Erzeugung . $G = (V,E)$ $|V| = n$ $V$

Naiv kannst du das in . Mit der Potenz von Matrizen können Sie dies mit Verwendung des Strassen-Algorithmus tun . Mit einem anderen Matrixmultiplikationsalgorithmus können Sie dies besser machen. Irgendeine bessere Methode? Irgendein Las Vegas Algorithmus? $O(n^3)$ $O(n^{2.8})$

— AJed
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Es gibt einen deterministischen O (n ^ 2) -Algorithmus.

— Mike G

@ MikeG wie geht das?

— AJed

@ MikeG hat einen wunderbaren quadratischen Zeitmatrix-Multiplikationsalgorithmus gefunden, der leider zu klein ist, um in einen Stapelaustauschkommentar zu passen

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov Können Sie eine Referenz geben?

— Raphael

Die Frage hängt wirklich davon ab, wie ein 2-Hop genau definiert ist. Wenn Sie mit einem 2-Hop die Menge meinen, dann lautet die aktuelle Antwort nein, Sie können es nicht schneller machen als wobei die übliche Konstante ist, die mit der Komplexität der Durchführung des Matrixprodukts verbunden ist.

h p (v) = {u ∣ there is a path of length 2 between u and v},

$hp(v) = \{ u \mid \mbox{there is a path of length 2 between u and v}\},$

O (n^{ω})

$O(n^{\omega})$

ω

$\omega$

Warum? Überprüfen Sie für jeden Scheitelpunkt , ob in neben dem Scheitelpunkt liegtWenn dies der Fall ist, haben Sie in Ihrem Diagramm ein Dreieck gefunden. Darüber hinaus ist das Diagramm dreieckfrei, wenn Sie mit dieser Eigenschaft keinen Scheitelpunkt finden . $v$ $v$ $hp(v).$ $v$

Der derzeit bekannteste Algorithmus zum Testen, ob ein Graph dreieckfrei ist, hat die Zeitkomplexität $O(n^{\omega}).$

— Jernej
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Interessant, haben Sie eine Referenz für das Problem der dreieckfreien Erkennung. Gibt es eine nachgewiesene Untergrenze für dieses Problem?

— AJed

Nein, es gibt keine nachgewiesene Untergrenze, aber kürzlich wurde eine sehr überraschende Verbindung gefunden. Wenn Sie Dreiecke schneller als können, können Sie das Matrixprodukt schneller als berechnen . Siehe den Artikel "Triangle Detection Versus Matrix Multiplication: Eine Studie zur wahrhaft subkubischen Reduzierbarkeit" von Williams und Williams. Hier kam.mff.cuni.cz/~matousek/cla/tria-mmult.pdf

O (n^{ω})

$O(n^{\omega})$

O (n^{ω})

$O(n^{\omega})$

— Jernej

Ordentlich, froh, dass es geholfen hat!

— Jernej