Jeder einfache ungerichtete Graph mit mehr als

Wenn ein Graph mit $n$ Eckpunkten mehr als $\frac{(n-1)(n-2)}{2}$ Kanten dann ist es verbunden.

Ich bin etwas verwirrt über diese Frage, da ich immer beweisen kann, dass Sie für ein verbundenes Diagramm mehr als benötigen E | > n - $|E|>n-1$ Kanten.

Ich bin nicht sicher, was Sie stört, aber wie ich es sehe, sind Sie über die folgenden zwei Tatsachen verwirrt

1. Wenn ein Graph verbunden ist, ist $e \geq n-1.$

2. Wenn ein Graph mehr als dann ist es verbunden.$e > \frac{(n-1)(n-2)}{2}$

Beachten Sie, dass die Auswirkungen in 1 und 2 in entgegengesetzte Richtungen gehen.

Für einen Beweis von 2. können Sie diesen Link überprüfen .

Ich denke, Ihr Problem könnte darin bestehen, zu beweisen, dass Sie mit ( n - 1 ) ( n - 2 ) keinen ungerichteten Graphen erstellen können. Kanten, die nicht verbunden sind. Sie denken falsch darüber nach. DieE=n-1Formel über die Anzahl der Kanten, mit denen Sie alle Scheitelpunkte verbinden können.$\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}$$E = n - 1$

Stellen Sie sich vor, Sie sind ein Gegner, der versucht, ein schreckliches Autobahnsystem so zu gestalten, dass eine Stadt getrennt wird. Egal wie ineffizient Sie Ihre Straßen verbringen, Sie müssen immer noch alle Städte verbinden, wenn es so viele Straßen gibt.

Überlegen Sie, was das schlechteste Design sein könnte, z. B. das, das so viele Straßen wie möglich nutzt, aber dennoch eine Stadt getrennt lässt. Wie viele Kanten hat das? Was passiert, wenn Sie dem noch eine Kante hinzufügen?

1. Wie Sie bereits erwähnt haben, haben wir:

$G\text{ is connected} \Rightarrow |V|-1 \le |E|$

Aber die andere Richtung ist nicht wahr, dh:

$G\text{ is connected} \Leftrightarrow |V|-1 \le |E|$

ist eine falsche Aussage.

$K_t$$t$$\cup$

$G = K_{n-1} \cup K_1$

$G$$n-1\choose 2$$n$${n-1\choose 2} > n-1$$n>4$

2.Um andererseits zu beweisen, dass:

${|V|-1 \choose 2} < |E| \Rightarrow G\text{ is connected}$

Wir können es wie folgt machen:

Angenommen, ist eine disjunkte Vereinigung zweier Graphen mit , wenn wir alle Eckpunkte von miteinander verbinden, um den Graphen , dann (weil höchstens as hat vollständige Grafikkanten) aber:$G$$G=G_1\cup G_2$$|G_1| = k, |G_2| = n-k, 0<k<n$$G_1,G_2$$G"$$|E_{G"}|\le {n \choose 2}$$G"$

${n-1 \choose 2} + 1 + k\cdot (n-k) \le |E_{G"}| \le {n \choose 2} \Rightarrow$

$(k-1)(n-k-1) + 1 \le 0\Rightarrow$ Widerspricht .$0<k<n$

Graph G hat n Knoten n = (n-1) +1 Ein Graph, der getrennt werden soll, sollte mindestens einen isolierten Scheitelpunkt haben. Ein Graph mit einem isolierten Scheitelpunkt hat maximal C (n-1,2) Kanten.

Daher sollte jeder verbundene Graph mehr als C (n-1,2) Kanten haben.