Wie ist diese Grammatik LL (1)?

Dies ist eine Frage aus dem Drachenbuch. Das ist die Grammatik:

$S \to AaAb \mid BbBa$
B → $A \to \varepsilon$
$B \to \varepsilon$

In der Frage wird gefragt, wie gezeigt werden kann, dass es sich um LL (1) handelt, nicht jedoch um SLR (1).

Um zu beweisen, dass es sich um LL (1) handelt, habe ich versucht, die Analysetabelle zu erstellen, aber ich erhalte mehrere Produktionen in einer Zelle, was ein Widerspruch ist.

Bitte sagen Sie, wie ist dieses LL (1) und wie kann man es beweisen?

Lassen Sie uns zunächst Ihren Produktionen eine Nummer geben.

1 2 S → B b B a 3 A → ε 4 B → $S \to AaAb$
$S \to BbBa$
$A \to \varepsilon$
$B \to \varepsilon$

Berechnen wir zuerst die ersten und folgen wir den Mengen. Für kleine Beispiele wie diese reicht es aus, die Intuition für diese Mengen zu verwenden.

$$\mathsf{FIRST}(S) = \{a, b\}\\ \mathsf{FIRST}(A) = \{\}\\ \mathsf{FIRST}(B) = \{\}\\ \mathsf{FOLLOW}(A) = \{a, b\}\\ \mathsf{FOLLOW}(B) = \{a, b\}$$

Berechnen wir nun die -Tabelle. Wenn wir keine Konflikte bekommen, lautet die Grammatik per Definition L L ( 1 ) .$LL(1)$$LL(1)$

    a | b |
-----------
S | 1 | 2 |
A | 3 | 3 |
B | 4 | 4 |

Da es keine Konflikte gibt, lautet die Grammatik .$LL(1)$

Nun zur Tabelle . Zuerst der L R ( 0 ) Automat.$SLR(1)$$LR(0)$

$$\mbox{state 0}\\ S \to \bullet AaAb\\ S \to \bullet BbBa\\ A \to \bullet\\ B \to \bullet\\ A \implies 1\\ B \implies 5\\ $$ $$\mbox{state 1}\\ S \to A \bullet aAb\\ a \implies 2\\ $$ $$\mbox{state 2}\\ S \to Aa \bullet Ab\\ A \to \bullet\\ A \implies 3\\ $$ $$\mbox{state 3}\\ S \to AaA \bullet b\\ b \implies 4\\ $$ $$\mbox{state 4}\\ S \to AaAb \bullet b\\ $$ $$\mbox{state 5}\\ S \to B \bullet bBa\\ b \implies 6\\ $$ $$\mbox{state 6}\\ S \to Bb \bullet Ba\\ B \to \bullet\\ B \implies 7\\ $$ $$\mbox{state 7}\\ S \to BbB \bullet a \\ a \implies 8\\ $$ $$\mbox{state 8}\\ S \to BbBa \bullet \\ $$

Und dann die Tabelle (ich nehme an, auf S kann alles folgen).$SLR(1)$$S$

    a     | b     | A | B |
---------------------------
0 | R3/R4 | R3/R4 | 1 | 5 |
1 | S2    |       |   |   |
2 | R3    | R3    | 3 |   |
3 |       | S4    |   |   |
4 | R1    | R1    |   |   |
5 |       | S4    |   |   |
6 | R4    | R4    |   | 7 |
7 | S8    |       |   |   |
8 | R2    | R2    |   |   |

Es gibt Konflikte im Zustand 0, daher ist die Grammatik nicht . Beachten Sie, dass bei Verwendung von L A L R ( 1 ) beide Konflikte korrekt gelöst würden: Im Zustand 0 auf Lookahead würde ein L A L R ( 1 ) R3 und auf Lookahead b R4 annehmen.$SLR(1)$$LALR(1)$$a$ $LALR(1)$$b$

Dies wirft die interessante Frage auf, ob es eine Grammatik gibt, die aber nicht L A L R ( 1 ) ist , was der Fall ist, aber nicht leicht zu finden ist.$LL(1)$$LALR(1)$

Wenn Sie nicht gefragt werden, müssen Sie die LL (1) -Tabelle nicht erstellen, um zu beweisen, dass es sich um eine LL (1) -Grammatik handelt. Sie berechnen einfach die FIRST / FOLLOW-Sätze wie Alex:

$\qquad \begin{align} \operatorname{FIRST}(S)&={a,b} \\ \operatorname{FIRST}(A)&={ε} \\ \operatorname{FIRST}(B)&={ε} \\ \operatorname{FOLLOW}(A)&={a,b} \\ \operatorname{FOLLOW}(B)&={a,b} \end{align}$

Und dann muss eine LL (1) -Grammatik per Definition:

1. Wenn und A ⇒ b zwei verschiedene Regeln der Grammatik sind, sollte es sein, dass FIRST ( a ) ∩ FIRST ( b ) = ∅ . Daher haben die beiden Mengen kein gemeinsames Element.$A \Rightarrow a$$A \Rightarrow b$$\operatorname{FIRST}(a) \cap \operatorname{FIRST}(b) = \emptyset$
2. Wenn für jeden Nicht-Terminal - Symbol haben Sie Á ⇒ * ε , dann sollte es sein , dass FIRST ( A ) ∩ FOLLOW ( A ) = ∅ . Wenn für ein nicht-terminales Symbol eine Nullproduktion vorliegt, können die Sätze FIRST und FOLLOW kein gemeinsames Element haben.$A$$Α \Rightarrow^* ε$$\operatorname{FIRST}(A) \cap \operatorname{FOLLOW}(A) = \emptyset$

Also, für die gegebene Grammatik:

1. Wir haben seit$\operatorname{FIRST}(AaAb) \cap \operatorname{FIRST}(BbBa) = \emptyset$ während FIRST ( B b B a ) = { b } und sie haben keine gemeinsame Elemente.$\operatorname{FIRST}(AaAb) = \{a\}$$\operatorname{FIRST}(BbBa) = \{b\}$
2. da ERSTER ( A ) = { a , b }, während FOLGEN ( A ) = ∅ und jetzt ERSTER ( B $\operatorname{FIRST}(A) \cap \operatorname{FOLLOW}A) = \emptyset$$\operatorname{FIRST}(A) = \{a,b\}$$\operatorname{FOLLOW}(A) = \emptyset$ seit FIRST ( B ) = { ε } während FOLLOW ( B ) = $\operatorname{FIRST}(B) \cap \operatorname{FOLLOW}(B) = \emptyset$$\operatorname{FIRST}(B) = \{ε\}$ .$\operatorname{FOLLOW}(B) = \{a,b\}$

Die SLR (1) -Analyse finde ich einwandfrei!

Suchen Sie nach einer ausreichenden Bedingung, die eine Grammatik LL (1) ergibt (Hinweis: Schauen Sie sich die ERSTEN Sätze an).

Suchen Sie nach einer erforderlichen Bedingung, die alle SLR (1) -Grammatiken erfüllen müssen (Hinweis: Sehen Sie sich die FOLLOW-Sätze an).