Die Bedingungen für einen zweigeteilten Graphen müssen planar sein, ohne dass Kanten um die Eckpunkte verlaufen

Ein zweigeteilter Graph ist planar, wenn er keine oder K 5 Minderjährigen hat.$K_{3, 3}$$K_5$

Ich suche nach notwendigen oder / und ausreichenden Bedingungen, um planare Zeichnungen ohne Kanten zu ermöglichen, die Sätze von Eckpunkten "umrunden". Dies sind Zeichnungen, die Folgendes erfüllen:

1. Alle Eckpunkte eines Teils werden auf einer einzigen vertikalen Linie gezeichnet. Scheitelpunkte des anderen Teils werden auf einer parallelen Vertikellinie gezeichnet.
2. Kanten schneiden sich nur an Eckpunkten.
3. Alle Kanten befinden sich im unendlichen Streifen zwischen den beiden vertikalen Linien in Punkt 1.

Beispielsweise sind alle Zeichnungen hier außer rechts unten keine Beispiele. Das Diagramm unten links kann neu gezeichnet werden, um die Bedingungen zu erfüllen, indem die Positionen von Q und R vertauscht werden. Die beiden oberen Diagramme können nicht neu gezeichnet werden, um die Bedingungen zu erfüllen.

Die beiden oberen Grafiken sind die einzigen Hindernisse, die ich finden konnte. Meine Fragen sind:

1. Hat dieses Problem einen Namen?
2. Irgendwelche anderen Hindernisse, die ich verpasst habe?
3. Alle Hinweise, wie ich beweisen kann, dass diese beiden Hindernisse (zusammen mit allem, was ich verpasst habe) als Minderjährige natürlich notwendig und ausreichend sind.

Beachten Sie, dass dies nicht dasselbe ist wie Außenplanar, ist Außenplanar (kann als Quadrat gezeichnet werden), aber es kann nicht gezeichnet werden, um die oben genannten Bedingungen zu erfüllen.$K_{2, 2}$

 $1$

• $1$

• Sie sind die Bäume, in denen jeder Scheitelpunkt höchstens zwei nicht blättrige Nachbarn hat.

Lemma 1. Jede Raupe ist in deiner Klasse.

$G$$P=x_1\dots x_\ell$$2$$d(x_1)=d(x_\ell)=1$$G$$P$$1$$x_i$$x_{i-1}$$x_{i+1}$$\Box$

$G$

$G$$x_1y_1x_2y_2\dots x_ky_kx_1$$x_2$$x_1$$y_2$$y_1$$x_1y_1$$x_2y_2$$x_{i+1}$$x_i$$i\in\{1, \dots, k-1\}$$y$$y_kx_1$$\Box$

Lemma 3. Jede verbundene Nicht-Raupe gehört nicht zu Ihrer Klasse.

$G$$2$$x$$y_1$$y_2$$y_3$$2$

$G$$y_2$$y_1$$y_3$$y_2$$z\neq x$$y_2$$y_2z$$xy_1$$xy_3$$\Box$

Satz. Ihre Klasse von Graphen ist genau die Klasse von Wäldern, deren Bestandteile jeweils eine Raupe sind.

$G$$G$$1$$3$$\Box$

$K_3$$K_{1,3}$

$1$$\Box$

$K_3$$K_4$$K_3$$K_{1,3}$

Die folgende Antwort ist also, was ich mir ausgedacht habe:

Wie Sie bereits erwähnt haben, gibt es nur zwei mögliche Fälle, die nicht neu angeordnet werden können.

$U$$V$

Bearbeiten: Ich habe das Diagramm falsch gelesen, sorry dafür.

$K_{2,2}$

Um zu beweisen, dass jeder andere Untergraph gültig ist, können Sie sich Folgendes vorstellen:

$e$

Der erste Fall ist, dass wir einen Knoten haben, der weder am selben Knoten wie die erste Kante beginnt noch endet. Dies lässt uns problemlos und wir können mit dem Einfügen fortfahren.

$V_1$$V_2$$V_3$$V_4$

$V1-V4$

Wir können wieder nur drei Lösungen finden: Entweder verfolgen wir eine Endverbindung oder wiederholen den Schritt, den wir bereits zuvor ausgeführt haben (alle verbleibenden Schritte verfolgen). Wenn wir auf einem Endknoten landen, können wir alle verfolgten Knoten austauschen.

$K_{2,2}$

EDIT: Um diesen Beweis auf den zweiten Fall auszudehnen, müssen wir die folgenden Bedingungen betrachten:

Wenn wir einen Untergraphen mit mindestens einem Hub (3 oder mehr Verbindungen) haben, ist dies im Allgemeinen "ziemlich einfach".

$\langle k\rangle > 1$

Da ich selbst nur geringe Kenntnisse auf diesem Gebiet habe, Ihnen aber dennoch eine mögliche Lösung anbieten möchte, habe ich Ihnen einen (hoffentlich) geeigneten Artikel verlinkt

Wenn jemand dieses Problem benennen würde, wäre ich daran interessiert, es zu lernen, zumal ich diese Lösung nur gefunden habe, indem ich Gedanken aus Fárys Theorem und vollständigen zweiteiligen Untergraphen weiterverfolgt habe.