Unter welchen Bedingungen ist K-bedeutet Clustering transformationsinvariant?

Bei einer Menge von Datenpunkten $X = \{x_1, x_2, \ldots, x_m\}$ wobei $x_i \in \mathbb{R}^d$ wir K-Mittel auf $X$ und erhalten die Cluster $c_1, c_2, \ldots, c_k$ .

Wenn wir nun einen neuen Datensatz wobei und und K-means auf ausführen , um die Cluster .y i = A x i + b y i ∈ R d Y g 1 , g 2 , … g $Y = \{y_1, y_2, \ldots, y_m\}$$y_i = Ax_i + b$$y_i \in \mathbb{R}^d$$Y$$g_1, g_2, \ldots g_k$

Unter welchen Bedingungen von und erhalten wir garantiert die gleichen Cluster?$A$$b$

Nehmen wir an, dass K-means den euklidischen Abstand verwendet und für beide Algorithmen die gleichen Anfangsbedingungen hat wenn die Anfangszentren für X dann sind die Anfangszentren für Y wobei g ^ 0_i = Ac ^ 0_i + b . g 0 1 , … , g 0 k g 0 i = A c 0 i + $c^0_1, \ldots, c^0_k$$g^0_1, \ldots, g^0_k$$g^0_i = Ac^0_i + b$

Bisher habe ich gedacht, dass den vollen Rang haben muss und b ein beliebiger Vektor sein kann. Ich konnte es jedoch nicht beweisen.$A$$b$

Die Antwort hängt von Ihrem K-Means-Algorithmus ab, aber was folgt, sollte für Standardalgorithmen funktionieren.

Sie erhalten das gleiche Ergebnis, wenn Ihre Transformation zwei Bedingungen erfüllt:$T$

1. Es werden Abstände beibehalten: , wobei Ihre Metrik ist, sagen wir.d d ( z , w ) = ‖ z - w $d(z,w) = d(T(z),T(w))$$d$$d(z,w) = \|z-w\|$
2. Es werden Durchschnittswerte beibehalten: Wenn eine konvexe Kombination ist, ist . T ( ∑ i p i z i ) = ∑ i p i T ( z i$\sum_i p_i z_i$$T(\sum_i p_i z_i) = \sum_i p_i T(z_i)$

Sie können dies überprüfen, indem Sie den Algorithmus durchgehen und zeigen, dass er immer die gleichen Entscheidungen trifft.