Einzigartige Triangulations-Duale einfacher Polygone

Bei einer Triangulation (ohne Steiner-Punkte) eines einfachen Polygons kann man das Dual dieser Triangulation betrachten, das wie folgt definiert ist. Wir erstellen einen Scheitelpunkt für jedes Dreieck in unserer Triangulation und verbinden zwei Scheitelpunkte, wenn sich die entsprechenden Dreiecke eine Kante teilen. Es ist bekannt, dass der duale Graph ein Baum mit maximalem Grad drei ist. $P$

Für meine Bewerbung interessiert mich Folgendes. Wenn ein Baum mit maximalem Grad drei gegeben ist, gibt es immer ein einfaches Polygon so dass das Dual jeder Triangulation (ohne Steiner-Punkte) von gleich . Hier ist die Triangulation von möglicherweise nicht eindeutig, aber ich fordere, dass der duale Graph eindeutig ist. $T$ $P$ $P$ $T$ $P$

Dies ist sicherlich wahr, wenn ein Pfad ist, wird jedoch unklar, wenn Sie Eckpunkte des dritten Grades haben. $T$

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— Nizbel99
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Der duale Graph ist nicht unbedingt ein Baum. Betrachten Sie diese sternförmige Form , die je nach Ihrer Definition der gemeinsamen Nutzung einer Kante (vollständig oder teilweise) entweder ein disjunkter Graph mit 4 Eckpunkten oder ein 4-Zyklus ist.

— Orlp

Guter Fang! Ich habe vergessen zu erwähnen, dass ich in meinen Triangulationen keine Steiner-Punkte zulasse. Ich werde die Frage aktualisieren.

— Nizbel99

Interessante Frage, aber ich bin gespannt, welche Anwendung dies haben kann. Können Sie sagen?

— Diskrete Eidechse

Gibt es bei einem Baum mit maximalem Grad drei immer ein einfaches Polygon $T$ $P$ so dass das Dual jeder Triangulation (ohne Steiner-Punkte) von gleich ? $P$ $T$

Ja. Um dies zu zeigen, werde ich eine Prozedur geben, um das scheinbar etwas stärkere Ergebnis zu erhalten *:

Konstruieren Sie bei einem Baum mit maximalem Grad drei ein einfaches Polygon , so dass die eindeutige Triangulation von (ohne Steiner-Punkte) als Dual hat. $T$ $P$ $P$ $T$

Beginnen Sie mit der Erstellung eines anfänglichen Dreiecks , das einen Scheitelpunkt in und fügen Sie zur Warteschlange . Wiederholen Sie dann Folgendes, bis leer ist: $\Delta_0$ $v_0$ $T$ $v_0$ $Q$ $Q$

Pop das oberste Element, , aus der Warteschlange. $v$
Wählen Sie für jeden benachbarten Scheitelpunkt , für den wir noch kein Dreieck platziert haben, eine Seite des Dreiecks und einen Punkt innerhalb der konischen Bereiche, die durch die Linie durch und ihre benachbarten Segmente erzeugt werden, so dass das Dreieck schneidet keine anderen Dreiecke. (Siehe Abbildung) Set und fügen bis . $w$ $AB$ $\Delta_v$ $D$ $AB$ $\Delta ABD$ $\Delta_w\leftarrow\Delta ABD$ $w$ $Q$

Dieses Bild zeigt ein Beispiel eines möglichen Polygons (links) für das gegebene (rechts). $P$ $T$

$AB$ $AD$

$CD$ $P$ $Q \notin \{B,D\}$ $DQ$ $P$ $AD$ $BD$ $\Delta ABD$ $Q$ existiert nur, wenn es einen analogen Punkt für das zuvor platzierte Dreieck gibt. Da es für das erste Dreieck keinen solchen Punkt gibt, bedeutet dies, dass es für kein von uns hinzugefügtes Dreieck einen solchen Punkt gibt.

$(X,Y)$ $P$ $XY$ $P$ $P$

Es ist zu beachten, dass die in dieser Methode konstruierten Polygone dazu neigen, ziemlich scharfe Winkel zu haben. Ich vermute, dass beliebig große Graphen Polygone mit beliebig kleinen Winkeln erfordern, was ein Problem sein könnte, wenn diese Polygone mit endlicher Genauigkeit gezeichnet werden.

_{*: Der Unterschied besteht darin, dass wir ein Polygon mit mehreren Triangulationen, die alle isomorphe Duale haben, in Ordnung wären, wenn wir "einzigartig" als bis zum Isomorphismus interpretieren (was mit der Eindeutigkeit von Triangulationen und Dualen im Einklang steht). Es ist jedoch möglich, mehr Dreiecke an diese Polygone anzuhängen, um sicherzustellen, dass einige Duale nicht mehr isomorph sind.}

— Diskrete Eidechse
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