Baumbreite von kxk quadratischen Gittergraphen

Nach einigen Folien I in Google gefunden, die Baumweite jedes Graph quadratischen Gitter ist . Ich habe gerade angefangen, über Baumbreite und Baumzersetzung zu recherchieren, und zum größten Teil macht es Sinn. Ich interessiere mich jedoch besonders für den Fall des Quadratgittergraphen, habe mich jedoch darum bemüht, wie es möglich ist, eine Baumzerlegung eines solchen Graphen mit dieser geringen Breite durchzuführen.$k \times k$ $G$$tw(G) = k$$k \times k$

Eines der Probleme, auf die ich stoße, wenn ich versuche, Zerlegungsbäume aus kleinen quadratischen Gittern mit Gruppen von höchstens zu zeichnen (um einen Zerlegungsbaum mit einer Breite von sicherzustellen ), besteht darin, dass der Graph "zyklisch" ist Die Eckknoten werden an zwei gegenüberliegenden Enden des Baums angezeigt, jedoch nicht an Knoten auf dem Pfad zwischen den beiden. Dies verstößt eindeutig gegen die Kohärenz-Eigenschaft von Zerlegungsbäumen, die laut Wikipedia (die eine genauere Definition als die meisten gibt) lautet:$k+1$$k$

Wenn , und Knoten sind (im Zerlegungsbaum) und sich auf dem Pfad von zu , dann ist .$X_{i}$$X_{j}$$X_{k}$$X_{k}$$X_{i}$$X_{j}$$X_{i}\cap X_{j}\subseteq X_{k}$

Für den Fall des Graphen enthält der einzige gültige (oder zumindest meiner Meinung nach gültige) Zerlegungsbaum, den ich mir vorstellen kann, 2 Knoten: wobei die Knoten ab der oberen linken Ecke durch eine Zeile gekennzeichnet sind:$3 \times 3$$\{\{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}, \{2, 4, 5, 6, 8\}\}$

$1\space2\space3$

$4\space5\space6$

$7\space8\space9$

Dazu habe ich die Umfangsscheitelpunkte für den ersten Baumknoten und den inneren Scheitelpunkt ( ) zusammen mit den benachbarten Scheitelpunkten genommen, um sicherzustellen, dass alle Kanten und Scheitelpunkte enthalten sind.$5$

Letztendlich ist meine Frage, wie kann die Baumbreite eines quadratischen quadratischen Gittergraphen tatsächlich gleich ? Und wenn dies richtig ist, können Sie ein einfaches Beispiel für einen Zerlegungsbaum präsentieren / erklären, der diese Eigenschaft demonstriert?$k \times k$$k$

Die Baumbreite (und Pfadbreite) der $k\times k$ Gitter ist genau $k$. (Und allgemeiner die Baumbreite und Pfadbreite des$k\times\ell$ Gitter ist genau $\min\,\{k,\ell\}$). Für das Beispielraster

Die Beutel der Baumzerlegung sind .$\{1,2,3,4\}, \{2,3,4,5\}, \{3,4,5,6\}, ..., \{6,7,8,9\}$

Beachten Sie, dass der Beutel bereits alle Kanten neben  , sodass wir diesen Scheitelpunkt nie wieder einschließen müssen. In ähnlicher Weise enthält alle Kanten neben  , die nicht bereits im ersten Beutel enthalten waren.$\{1,2,3,4\}$$1$$\{2,3,4,5\}$$2$