Rényi-Entropie im Unendlichen oder Min-Entropie

Ich lese eine Arbeit, die sich auf die Grenze bezieht, wenn n bis unendlich der Rényi-Entropie geht. Es definiert es als . Er sagt dann , dass die Grenze als ist . Ich habe einen anderen Artikel gesehen, der das Maximum der anstelle von . Ich denke, dass dies ziemlich einfach funktioniert, wenn alle gleich sind (eine gleichmäßige Verteilung). Ich habe keine Ahnung, wie ich dies für etwas anderes als eine gleichmäßige Verteilung beweisen soll. Kann mir jemand zeigen, wie es geht?${{H}_{n}}\left( X \right)=\dfrac{1}{1-n} \log_2 \left( \sum\limits_{i=1}^{N}{p_{i}^{n}} \right)$$n\to \infty$$-\log_2 \left( p_1 \right)$${{p}_{i}}'s$${{p}_{1}}$${{p}_{i}}'s$

Angenommen, . Wir haben Daher Als , , während .p n 1 ≤ N Σ i = 1 p n i ≤ N p n 1 . n log p 1 + log $p_1 = \max_i p_i$

$$p_1^n \leq \sum_{i=1}^N p_i^n \leq N p_1^n.$$ $$\frac{n \log p_1 + \log N}{1-n} \leq H_n(X) \leq \frac{n \log p_1}{1-n}.$$ $n \rightarrow \infty$$\log N/(1-n) \rightarrow 0$$n/(1-n) \rightarrow -1$