Was ist die Tiefe eines vollständigen Binärbaums mit

Diese Frage verwendet die folgende Definition eines vollständigen Binärbaums ^† :

Ein binärer Baum mit Ebenen ist vollständig, wenn alle Ebenen außer möglicherweise der letzten vollständig voll sind und die letzte Ebene alle ihre Knoten auf der linken Seite hat.$T$$N$

Das Folgende ist ein Auszug aus Algorithmen :

Es ( ) ist auch die Tiefe eines vollständigen Binärbaums mit Knoten. (Genauer gesagt: .)$\log N$$N$$⌊\log N⌋$

Warum ist der obige Auszug wahr?

^† Ursprünglich hier definiert

Überlegen Sie, wie ein vollständiger binärer Höhenbaum entsteht $h$ wird konstruiert, ein Scheitelpunkt auf der Wurzelebene, zwei auf der ersten Ebene unterhalb der Wurzel, vier auf der zweiten Ebene unterhalb und so weiter, bis zum $h^{th}$Ebene, die mindestens einen Scheitelpunkt hat, aber höchstens doppelt so viele wie die vorherige Ebene. Beachten Sie, dass die Anzahl der Scheitelpunkte auf jeder Ebene eine Zweierpotenz ist (mit Ausnahme der letzten, was ein Sonderfall ist). Dann haben wir:

$$1+\sum_{i=0}^{h-1}2^{i} \leq n \leq \sum_{i=0}^{h}2^{i}$$ Mit der Identität, dass die Summe der ersten $k$ Zweierpotenzen sind $2^{k+1}-1$ wir bekommen: $$1+2^{h}-1 \leq n \leq 2^{h+1}-1\\ 2^{h} \leq n \leq 2^{h+1}-1$$ und daher $$2^{h} \leq n < 2^{h+1}$$

Nehmen Sie den Logarithmus zur Basis 2:

$$h \leq \log n < h+1$$ Also können wir schließen $$h = \lfloor\log n\rfloor$$ Wie $\log n$ ist größer als $h$, aber weniger als die nächste ganze Zahl $h+1$.