Lösen von T (n) = 2T (n / 2) + log n mit der Wiederholungsbaummethode

Ich habe Wiederholungsbeziehungen gelöst. Die erste Wiederholungsbeziehung war

$T(n)=2T(n/2)+n$

Die Lösung für dieses Problem kann durch den Master-Satz oder die Wiederholungsbaummethode gefunden werden. Der Wiederholungsbaum wäre ungefähr so:

Die Lösung wäre:

$T(n)=\underbrace{n+n+n+...+n}_{\log_2{n}=k \text{ times}}=\Theta(n \log{n})$

Als nächstes hatte ich folgendes Problem:

$T(n)=2T(n/2)+\log{n}$

Mein Buch zeigt, dass diese Wiederholung nach dem Hauptsatz oder sogar nach einem Substitutionsansatz die Lösung . Es hat dieselbe Struktur wie oben Baum mit dem einzigen Unterschied , dass es bei jedem Aufruf führt Arbeit. Ich bin jedoch nicht in der Lage, den gleichen Ansatz für dieses Problem zu verwenden. $\Theta(n)$ $\log{n}$

recurrence-relation

— anir
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Der nicht rekursive Begriff der Wiederholungsrelation ist die Arbeit , um Lösungen von Teilproblemen zusammenzuführen. Die Ebene Ihres (binären) Wiederholungsbaums enthält Teilprobleme mit der Größe $k$ $2^k$ , also müssen Sie zuerst die Gesamtarbeit auf der Ebeneund diese Arbeit dann über alle Baumebenen zusammenfassen. $\frac {n}{2^k}$ $k$

Wenn beispielsweise die Arbeit konstant ist , dann ist die gesamte Arbeit auf der Ebene wird $C$ $k$ , und die Gesamtzeit wird durch die folgende Summe angegeben werden: $2^k \cdot C$ $T(n)$

T (n) = \sum_{k = 1}^{\log_{2} n} 2^{k} C = C (2^{\log_{2} n + 1} - 2) = Θ (n)

$T(n) = \sum_{k=1}^{\log_2{n}}2^k C = C(2^{\log_2{n}+1}-2) = \Theta(n)$

Wenn die Arbeit jedoch logarithmisch mit der Problemgröße wächst, müssen Sie die Lösung genau berechnen. Die Serie würde wie folgt aussehen:

T (n) = \log_{2} n + \underset{\log_{2} n times}{\underset{⏟}{2 \log_{2} (\frac{n}{2}) + 4 \log_{2} (\frac{n}{4}) + 8 \log_{2} (\frac{n}{8}) + . . . .}}

$T(n)=\log_2{n}+\underbrace{2\log_2(\frac {n} {2})+4\log_2(\frac {n} {4})+8\log_2(\frac {n} {8}) + ....}_{\log_2{n} \text{ times}}$

Es wird eine ziemlich komplexe Summe sein:

T (n) = \log_{2} n + \sum_{k = 1}^{\log_{2} n} 2^{k} \log_{2} (\frac{n}{2^{k}})

$T(n)=\log_2{n}+\sum_{k=1}^{\log_2{n}}2^k \log_2(\frac {n} {2^k})$

Ich werde vorübergehend und die obige Summierung vereinfachen: $m=\log_2{n}$

\sum_{k = 1}^{m} 2^{k} \log_{2} (\frac{n}{2^{k}}) = = \sum_{k = 1}^{m} 2^{k} (\log_{2} n - k) = = \log_{2} n \sum_{k = 1}^{m} 2^{k} - \sum_{k = 1}^{m} k 2^{k} = = \log_{2} n (2^{m + 1} - 2) - (m 2^{m + 1} - 2^{m + 1} + 2)

$\sum_{k=1}^{m}2^k \log_2(\frac {n} {2^k})=\\=\sum_{k=1}^{m}2^k(\log_2{n}-k)=\\=\log_2{n}\sum_{k=1}^{m}2^k-\sum_{k=1}^{m}k2^k=\\=\log_2{n}(2^{m+1}-2)-(m2^{m+1}-2^{m+1}+2)$

$\sum_{k=1}^{m}k2^k$ $m$ $\log_2{n}$

T (n) = \log_{2} n + 2 n \log_{2} n - 2 \log_{2} n - 2 n \log_{2} n + 2 n - 2

$T(n)=\log_2{n}+2n\log_2{n}-2\log_2{n}-2n\log_2{n}+2n-2$

= 2 n - \log_{2} n - 2 = Θ (n)

$=2n-\log_2{n}-2=\Theta(n)$

QED

— HEKTO
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Verdammt, ich habe einen super dummen Fehler gemacht, als ich Fragen gestellt habe. Jetzt korrigiert. Allerdings kann ich jetzt nicht verstehen, wie sich die Sachen in der Serie gegenseitig aufheben:

2^{0} \log_{2} \frac{n}{2^{0}} + 2^{1} \log_{2} \frac{n}{2^{1}} + 2^{2} \log_{2} \frac{n}{2^{2}} + . . . + 2^{\log_{2} n} \log_{2} \frac{n}{2^{\log_{2} n}} = \log_{2} n + 2 \log_{2} \frac{n}{2} + 4 \log_{2} \frac{n}{4} + . . . + n \log_{2} 1

$2^0\log_2\frac{n}{2^0}+2^1\log_2\frac{n}{2^1}+2^2\log_2\frac{n}{2^2}+...+2^{ \log_2{n}}\log_2\frac{n}{2^{ \log_2{n}}}=\log_2{n}+2\log_2{\frac{n}{2}}+4\log_2{\frac{n}{4}}+...+n\log_2{1}$ .. Dies ist die Serie, die Sie sich einfallen lassen, oder? Versuchen mit

n = 8

$n=8$ , Ich habe

\log_{2} 8 + 2 \log_{2} 4 + 4 \log_{2} 2 + 8 \log_{2} 1 = 3 + 4 + 4 = 11

$\log_2{8}+2\log_2{4}+4\log_2{2}+8\log_2{1}=3+4+4=11$ . Whats wrong here?

— anir

@anir - Use equality

\log_{2} (\frac{n}{2^{k}}) = \log_{2} n - k

$\log_2(\frac{n}{2^k}) = \log_2 n - k$

— HEKTO

I still didn't get how that series collapses to

Θ (n)

$\Theta(n)$ :'¬( Math-noob-here...

— anir

@anir - I'll expand my answer

— HEKTO

@HEKTO If you solve above equ of comment, you still get nlog(n) ?? I have tried a lot. would you please help me here ?

— roottraveller