Big-O-Beweis für eine Wiederholungsbeziehung?

Diese Frage ist ziemlich spezifisch in der Art der Schritte, die zur Lösung des Problems unternommen werden.

Gegeben beweisen, dass . $T(n)=2T(2n/3)+O(n)$ $T(n)=O(n^2)$

Die Schritte waren also wie folgt. Wir wollen beweisen, dass . $T(n) \le cn^2$

und gingen dann auf meiner prof zu tun:

\begin{aligned} T (n) & = 2 T (2 n / 3) + O (n) \\ \leq 2 c (2 n / 3)^{2} + a n \\ \leq (8 / 9) (c n^{2}) + a n \end{aligned}

$\begin{align*} T(n)&=2T(2n/3)+O(n) \\ &\leq 2c(2n/3)^2+an\\ &\leq (8/9)(cn^2)+an \end{align*}$

was herauskommt zu:

T (n) \leq c n^{2} + (a n - (1 / 9) c n^{2}),

$T(n) \leq cn^2+(an-(1/9)cn^2)\,,$

T (n) \leq c n^{2} for any c >= 9 a .

$T(n)\leq cn^2 \text{ for any }c >= 9a\,.$

Meine Frage ist, wie sie bei der Einführung eines neuen Begriffs von 8/9 auf 1/9 wechseln konnten. Ist das erlaubt? Sie hat es nie erklärt, das war nur in ihren Lösungen.

asymptotics recurrence-relation

— D. Johnson
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c n^{2} + a n - (1 / 9) c n^{2}

$cn^2 +an - (1/9)cn^2$

(8 / 9) c n^{2} + a n

$(8/9)cn^2 + an$

c n^{2}

$cn^2$

c k^{2}

$ck^2$

a n

$an$

$an$ $(8/9)cn^2 + an \leq cn^2 + an$ $an$ $(1/9)cn^2$ $an$ $c \geq 9a$ $an - (1/9)cn^2 \leq 0$ $c$

— user340082710
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